Лекция №12




Скачать 66.06 Kb.
НазваниеЛекция №12
Дата публикации27.07.2013
Размер66.06 Kb.
ТипЛекция
zadocs.ru > Математика > Лекция
Лекция № 12 .

Дифференцирование функции многих переменных в среде Matlab.

Дифференцирование сложной функции.

Дифференцирование неявной функции.

Определение ФНП: Переменная величина z называется однозначной функцией двух переменных х, у , если каждой совокупности их значений (х, у) из данной области соответствует единственное определённое значение z. Переменные х и у называются аргументами или независимыми переменными.

Определение: Изоповерхностью (поверхностью уровня) функции трёх переменных называется такая поверхность, в точках которой функция трёх переменных принимает постоянное значение . Поверхность уровня определена уравнением , которое может быть преобразовано к виду функции двух переменных (контурной функции в трёхмерном пространстве) .

Пример. Построить поверхности уровня функции .

Преобразуем уравнение семейства поверхностей к виду функции двух переменных Придавая постоянной с значения с = 0, с = 1, с = -1, получим соответственно поверхность конуса, однополостного гиперболоида и двуполостного гиперболоида.

Создаём файл-функцию

function hyperboloid©

lim=2;

[x,y]=meshgrid(-lim:0.1:lim);

z=sqrt(c-x.^2+y.^2);

contour3(x,y,z,20);hold on

z=-sqrt(c-x.^2+y.^2);

z=contour3(x,y,z,20); colormap([0,0,0])

set(gcf,’position’,[100 100 800 650])

view([-42.5 34])

xlabel(‘x’),ylabel(‘y’),zlabel(‘z’),

str=num2str©;

title([‘x^2-y^2+z^2=c’,’c=’,str])

Исполнение этой файл-функции с разными значениями аргументов даёт разные графики
hyperboloid(-1) hyperboloid(1) hyperboloid(0)



Дифференцирование функции многих переменных в среде Matlab.

Определение частных производных: Если , то, полагая, например у постоянной получаем производную ,

Которая называется частной производной функции z по переменной х. Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z по переменной у.

Пример: Найти частные производные первого порядка, смешанные производные, полный дифференциал функции

syms x y z

>> u=z^(x*y);

>> diff(u,x)

ans =z^(x*y)*y*log(z)

>> diff(u,y)

ans =z^(x*y)*x*log(z)

>> diff(u,z)

ans =z^(x*y)*x*y/z

Нахождение смешанных производных
du2dxdy=diff(diff(u,x),y)

du2dxdy =z^(x*y)*x*log(z)^2*y+z^(x*y)*log(z)

>> du2dydx=diff(diff(u,y),x)

du2dydx =z^(x*y)*x*log(z)^2*y+z^(x*y)*log(z)

>> du2dxdy-du2dydx

ans =0

du2dxdz=diff(diff(u,x),z)

du2dxdz =z^(x*y)*x*y^2/z*log(z)+z^(x*y)*y/z

>> du2dzdx=diff(diff(u,z),x);

>> du2dxdz-du2dzdx

ans =0
Нахождение полного дифференциала

Определение: Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращения аргументов

syms dx dy dz

>> du=diff(u,x)*dx+diff(u,y)*dy+diff(u,z)*dz

du =z^(x*y)*y*log(z)*dx+z^(x*y)*x*log(z)*dy+z^(x*y)*x*y/z*dz
Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Полная производная.

Пусть z=f(x,y) функция двух переменных х и у, а х и у в свою очередь являются функциями переменной t, т.е.x = x(t),y = y(t). Тогда функция z=f(x,y) является сложной функцией независимой переменной t., а переменные х и у являются для неё промежуточными переменными.

Например: сложная функция независимой переменной t.

Производная сложной функции одной независимой переменной.

Теорема: Если функции x(t), y(t) дифференцируемы в точке t, а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Р(х,у), x = x(t),y = y(t), то сложная функция z=f(x(t),y(t)) также дифференцируема в точке t, причём справедлива формула

(1)

Пример:

Математическое решение:

syms t

>> x=sin(t);

>> y=1-cos(t);

>> z=x^2+x/y;

>> dzdt=diff(z,t)

dzdt =2*sin(t)*cos(t)+cos(t)/(1-cos(t))-sin(t)^2/(1-cos(t))^2

>> simplify(dzdt)

>> pretty(ans)

Полная производная сложной функции.

В частности, если z=f(x,y) , а у=φ(х), то z = f(x,φ(x)) – сложная функция от х, то справедлива формула: (2)

В формулу входят две производные от z по х. Они различны по характеру - частная производная функции z=f(x,y) по переменной х, вычисляется при фиксированном у. - полная производная сложной функции z по независимой переменной х.

Пример:

syms x

>> y=exp(x)+y^(0.5);

>> y=exp(x);

>> z=log(x)+y^(0.5);

>> dzdx=diff(z,x)

dzdx =1/x+1/2*exp(x)^(1/2)

>> simplify(dzdx)

>> pretty(ans)

Замечание: Если z-дифференцируемая функция любого конечного числа переменных, т.е. z = f(x,y,u,…,s), где y = y(t), x = x(t), u = u(t),…s = s(t) дифференцируемые функции от t, то



Производная сложной функции двух независимых переменных

Пусть тогда функция - сложная функция двух независимых переменных х и у. Фиксируя сначала у, а потом ч на основании формулы (1) имеем: , (3)

Итак, частная производная сложной функции по независимой переменной равна сумме произведений частных производных от этой функции по каждой из промежуточных переменных на частные производные от промежуточных переменных по соответствующей независимой переменной.

Пример: . Найти частные производные.

Решение: syms x y

>> u=x^2+y;

>> v=x-y;

>> z=log(exp(u)+exp(v));

>> dzdx=diff(z,x)

dzdx =(2*x*exp(x^2+y)+exp(x-y))/(exp(x^2+y)+exp(x-y))

>> dzdу=diff(z,у)

Замечание: Для случая большого количества промежуточных переменных формулы (3) обобщаются.
Дифференцирование неявных функций.

1. Неявные функции одной переменной .Производные функции у по переменной х находятся по формуле

Пример:

syms x y

>> F=cos(y/x-x*y);

>> dydx=-diff(F,x)/diff(F,y)

dydx =-(y/x^2+y)/(-1/x+x)

2. Неявные функции двух переменных . Производные функции z по переменной х находят по формулам:.

Пример:

>> syms x y z

>> F=log(x^2+y^2+z^2);

>> dхdy=-diff(F,y)/diff(F,x)

dzdy =-y/x

>> dxdz=-diff(F,z)/diff(F,x)

dxdz =-z/x

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение: точка М0(х0, y0, z0) называется особой точкой поверхности F(x, y, z) = 0, если в этой точке одновременно равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

Пример: ( круговой конус).


Определение: Точки, не являющимися особыми, называются обыкновенными. (т.М(1; 0; -1) обыкновенная).

Определение: Прямая линия называется касательной к поверхности в т. , если она является касательной к какой-либо кривой, целиком лежащей на поверхности, и проходящей через т. .

Определение: Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящие через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.

Определение: Нормалью к поверхности в т. называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.

1. Пусть поверхность задана явно

Основные соотношения для случая двумерной поверхности:

Уравнение касательной плоскости в заданной точке:



Уравнение нормали:

Уравнение нормали в параметрической форме:

2. Пусть поверхность задана неявно

Уравнение касательной плоскости в заданной точке:



Уравнение нормали:

Задача. Найти касательную плоскость и уравнение нормали к поверхности в точке М (1, 1)

Решение:

lim=5; x0=1;y0=1;

>> syms x y t >> % уравнение поверхности

>> z=-x^2/5-y^2/10;

>> ezsurf(z,[-lim,lim],40),

>> grid, hold on

>> z0=subs(z,[x,y],[x0,y0]);

>> dzdx=diff(z,x);

>> dzdy=diff(z,y);

>> dzdx0=subs(dzdx,[x,y],[x0,y0]);

>> dzdy0=subs(dzdy,[x,y],[x0,y0]);

>> f=z0+(x-x0)*dzdx0+(y-y0)*dzdy0 >> %уравнение касательной плоскости

f =3/10-2/5*x-1/5*y

% уравнение нормали к поверхности (syms t;xt =1-2/5*t; yt =1-1/5*t; zt = -3/10-t

dzdx0=double(dzdx0);dzdy0=double(dzdy0);

>> t=-20:0.1:20;

>> xt=x0+dzdx0.*t;

>> yt=y0+dzdy0.*t;

>> zt=z0-t;

>> plot3(xt,yt,zt,'k','LineWidth',2)

colormap(gray)

>> set(gcf,'position',[35 35 800 650])

>> view([-118.5 42])


Экстремумы функций двух переменных.

Определение: Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют называются критическими точками функции.

Определение: Точки, в которых частные производные равны нулю называются стационарными точками функции.

Необходимое условие экстремума.

Теорема: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке Р00, у0), то каждая частная производная первого порядка обращается в нуль в этой точке.

Замечание:

1.Если дифференцируемая функция в точке Р00, у0) имеет экстремум, то касательная плоскость к поверхности в точке М00, у0, z0) параллельна плоскости ОХУ.

2. Функция может иметь экстремум и в тех точках, в которых хотя бы одна частная производная первого порядка не существует.

Достаточное условие экстремума.

Пусть т. Р00, у0) – стационарная точка функции . И пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Обозначим: .

Составим :

  1. Если определитель >0, то функция имеет экстремум в точке Р00, у0), причём при А<0- min, при A>0 – max.

  2. Если определитель <0 , то в точке экстремума нет.

  3. Если определитель = 0, то требуются дополнительные исследования.


Правило отыскания экстремумов.

  1. D(z).



  2. определить стационарные точки, т.е. найти действительные корни и выбрать из них точки, лежащие строго внутри области определения.

  3. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в выбранных стационарных точках, т.е. найти А, В, С. Вычислить в каждой выбранной точке и сделать вывод о существовании экстремума.

  4. Вычислить экстремумы функции, подставив в координаты точек.

Пример: Найти экстремумы функции

syms x y

>> z=(x-1)^2+2*y^2;

>> ezsurf(z)

>> % находим стационарные точки

>> dzdx=diff(z,x)

>> dzdy=diff(z,y)

>>[x,y]=solve('2*x-2=0','4*y=0')

x =1 y =0 - стационарная точка

>> % находим вторые производные

>> A=diff(z,x,2)

A =2

>> B=diff(diff(z,x),y)

B =0

>> C=diff(z,y,2)

C =4

>> det([A B;B C])

ans =8 >0 – Р(1, 0)-точка минимума

>> zmin=subs(z,[x,y],[1,0])

zmin = 0





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекция №12 iconКурс лекций (под редакцией профессора В. Ф. Беркова) 2-е издание...
Авторский коллектив: Н. С. Щекин (лекция 8); Г. И. Касперович (лекция 9); В. Ф. Берков (лекция 10); И. Г. Подпорин (лекция 11); В....

Лекция №12 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №12 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №12 iconМетодические рекомендации вводная лекция введение в курс лекция 2
Лекция 15. Финансирование государственной службы. Контроль и надзор за соблюдением законодательства о государственной службе

Лекция №12 iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир...
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой

Лекция №12 iconЛекция I. Предмет, система и основные понятия
Лекция II. Судебная власть и правосудие

Лекция №12 iconЛекция 5
Лекция Государственное регулирование внешнеэкономической деятельности: сущность, методы (тарифные и нетарифные)

Лекция №12 iconЛекция роль государства и права в жизни общества 2 часа 8 Лекция...
Лекция основные правовые системы современности. Международное право как особая система права – 2 часа 65

Лекция №12 iconЛекция Эстетика как философская наука
Лекция Модернизм и постмодернизм в искусстве и эстетической теории ХХ века

Лекция №12 iconЛекция №1 Курс «Метрология и стандартизация»
Введение. Предмет дисциплины. Краткие сведения из истории метрологии и стандартизации (Лекция №1)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов