Измерения разделяют на прямые и косвенные




Скачать 387.09 Kb.
НазваниеИзмерения разделяют на прямые и косвенные
страница1/3
Дата публикации30.07.2013
Размер387.09 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3
1.Измерения разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или с помощью измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К этим измерениям относятся измерения длины линейкой, температуры с помощью термометра, времени с помощью секундомера, скорости с помощью спидометра.

При косвенных измерениях измеряемая величина вычисляется по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Примером косвенных измерений являются определение скорости движения с помощью измерения длины пути и времени, определение плотности тела по измерению массы и объема и т.д

Ошибки эксперимента можно разделить на три класса: систематические ошибки, случайные ошибки и грубые промахи.

Различают ошибки первого рода и второго рода. ^ Ошибкой первого рода называется признание бракованным фактически годного изделия. Ошибкой второго рода называется признание годным фактически негодного изделия.
2. Систематические ошибки вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они связаны с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), неправильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора.

По характеру изменения во времени они делятся на постоянные и переменные. Постоянными называются такие погрешности измерения, которые остаются неизменными в течение всей серии измерений. Например, погрешность от того, что неправильно установлен ноль стрелочного электроизмерительного прибора, погрешность от постоянного дополнительного веса на чашке весов и т.д. Переменными называются погрешности, изменяющиеся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющиеся, периодические и изменяющиеся по сложному закону. Если в процессе измерения систематическая погрешность монотонно возрастает или убывает, ее называют монотонно изменяющейся. Например, она имеет место при постепенном разряде батареи, питающей средство измерений. Периодической называется погрешность, значение которой является периодической функцией времени. Примером может служить погрешность, обусловленная суточными колебаниями напряжения силовой питающей сети, температуры окружающей среды и др. Систематические погрешности могут изменяться и по более сложному закону, обусловленному какими-либо внешними причинами.

По причинам возникновения погрешности делятся на инструментальные погрешности; погрешности в результате неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.

3. Случайные погрешности вызываются большим числом случайных величин, действие которых в каждом измерении различно и не может быть заранее учтено. Типичный пример – ошибка параллакса.

При проведении измерений необходимо пытаться исключить из результатов эксперимента систематические ошибки и промахи, чтобы избежать существенного искажения результатов. Когда существует возможность определить величину систематической ошибки, необходимо в окончательный результат вводить соответствующие поправки. Если такой возможности нет, то надо попытаться систематическую погрешность перевести в случайную.

Величину ошибки можно характеризовать или абсолютной величиной

, (1.1)

где хизм, хист – измеренное и истинное значения, или относительной величиной

. (1.2)

Здесь - среднее арифметическое измеренных значений. Иногда используют понятие приведенной погрешности

, (1.3)
где хмах – максимально возможное значение или максимальное значение шкалы прибора.
4. Согласно теореме Бернулли, при увеличении числа опытов, частота события сходится по вероятности к вероятности этого события.
5. В качестве единицы измерения вероятности принимается вероятность достоверного события. Условились принимать вероятность достоверного события равной единице. . Все другие события, возможные, но не достоверные, будут иметь вероятность меньше единицы. Невозможному событию соответствует вероятность, равная нулю. . Таким образом, диапазон вероятностей случайного события .

Если вероятность события в опыте близка к единице или ничтожно мала, то в первом случае будем считать, что событие появится, а во втором не будем его ожидать. Здесь действует принцип практической уверенности: Принцип практической уверенности не может быть доказан математическими средствами. Он подтверждается всем опытом человечества.
6. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины могут быть дискретными, то есть принимать строго фиксированные значения, или непрерывными, принимать любые значения внутри ограниченного или неограниченного интервала. Будем обозначать случайные величины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения – малыми.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями и соответствующими вероятностями их появления. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечисляются возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Х

х1

х2



хn
Р

p1

p2



pn

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, используют графическое представление. По оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Представление закона распределения в виде таблицы или многоугольника распределения возможно только для дискретной случайной величины. Для непрерывной величины такой характеристики построить нельзя, поскольку она имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток.
7. Для количественной характеристики непрерывной случайной величины используют не вероятность события Х=х0, а вероятность события Х<x0., где x0. – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от x0. и является функцией от x0. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x).

. (3.2)

Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для дискретных и непрерывных величин. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения. Основные свойства функции распределения:

  1. Функция распределения – неубывающая величина,

При х2>x1 F(x2F(x1).

  1. На «минус бесконечности» функция распределения равна нулю.
    .

  1. На «плюс бесконечности» функция распределения равна единице.

.

Это означает, что случайная величина Х может принимать значение
«-» с вероятностью, равной нулю. Значение случайной величины Х с вероятностью 1 находятся в пределах .
8. Рассмотрим отношение вероятности попадания случайной величины Х на участок от х до х+Dх к длине этого участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке. При стремлении Dх к нулю в пределе получим производную от функции распределения

. (3.5)

Функция f(x) характеризует плотность, с которой распределены значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения случайной величины Х. Ее также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Вид кривой распределения изображен на рис.3.2.




Вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок шириной x, x+dx равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.
Вероятность попадания величины X на отрезок от a до b равна сумме элементов вероятности на этом участке, то есть интегралу

. (3.6)

Основные свойства плотности распределения:

  1. Плотность распределения есть неотрицательная функция, f(x)і0.

  1. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице

.
9. Параметрами, определяющими положение случайной величины на числовой оси, служат характеристики положения. Главной из них является математическое ожидание случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. Это средневзвешенное значение случайной величины или теоретическое среднее арифметическое всех возможных значений. Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле

, (3.8)

для непрерывной – по формуле

. (3.9)

Следующей характеристикой положения случайной величины является мода, соответствующая наиболее вероятному значению случайной величины. Величину моды легко найти по кривой распределения, выбрав значение случайной величины, имеющее максимальную плотность распределения.

Довольно часто применяется в качестве характеристики положения медиана случайной величины. Ее значение определяется из условия, что вероятности появления значений случайной величины больше и меньше медианы равны 0,5. Математически это условие можно записать в виде

,

.










Медиана делит площадь под кривой распределения пополам, Значение функции распределения от медианы равно 0,5.

Следующие параметры относятся к характеристикам рассеивания случайной величины относительно математического ожидания.

Наиболее важной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия случайной величины, равная математическому ожиданию разности квадратов случайной величины и ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии используются формулы:

для дискретной случайной величины

, (3.10)

для непрерывной

. (3.11)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

. (3.12)

Математическое ожидание mx и дисперсия Dx или среднее квадратичное отклонение sх характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Довольно часто ограничиваются только этими двумя показателями.

Для характеристики асимметрии применяется коэффициент асимметрии, рассчитываемый по формулам



или .






Для характеристики крутости распределения используется эксцесс, рассчитываемый по формулам



или .

Число 3 вычитается из отношения математического ожидания отклонений четвертой степени к среднему квадратичному потому, что для нормального закона распределения, наиболее распространенного в природе, это отношение равно 3.
10. Для непрерывных случайных величин наиболее простым является равномерное (прямоугольное) распределение с двумя параметрами {a, b}, соответствующим границам интервала, внутри которого может находиться случайная величина. Это распределение встречается в основном в двух типовых ситуациях: во-первых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны и, во-вторых, при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых интервалах.

Равномерное распределение на интервале [a, b] задается плотностью

. (4.1)

Функция распределения на этом интервале

. (4.2)

Математическое ожидание соответствует середине интервала:

. (4.3)

Дисперсия распределения

. (4.4)

Графики функции и плотности распределения показаны на рис.4.1.



Некоторые случайные величины имеют экспоненциальное распределение с одним параметром 0>0.

Функция распределения

. (4.5)

Плотность распределения

. (4.6)

Закон определен для случайной величины x  0. Математическое ожидание случайной величины

, (4.7)

дисперсия

. (4.8)

По этому закону, как правило, распределяется случайная величина – продолжительность работы оборудования до отказа, если его отказы не связаны со старением, т.е. износом оборудования, ухудшением определяющих его работоспособность характеристик. Это распределение наблюдается, когда отказы вызываются случайными внешними факторами, например, колебаниями тепловой, электрической или механической нагрузок, изменением качества топлива, особенностями работы различных операторов или другими случайными воздействиями.

Графики функции и плотности экспоненциального распределения показаны на рис.4.2.



Наиболее общим является распределение Гаусса или нормальное распределение. Этот закон занимает особое положение. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. По этой причине нормальный закон распределения наиболее часто встречается в природе.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

. (4.9)




Кривая плотности распределения по нормальному закону, приведенная на рис.4.3, имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке x=m. По мере удаления от точки x=m плотность распределения падает и при x   кривая асимптотически прижимается к оси х.

Параметрами распределения являются коэффициенты m и . Величина m здесь соответствует математическому ожиданию случайной величины; - среднее квадратичное отклонение величины х.

Если изменить величину m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Параметр  характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеяния. Наибольшая ордината кривой обратно пропорциональна величине , чем больше , тем ниже максимальное значение f(x). Влияние этих параметров показано на рис.4.4.




Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [,]:

.

Здесь F(x) – функция распределения величины Х:

. (4.10)

Вычисление значения функции распределения требует в каждом случае численного интегрирования. Чтобы избежать этого, используется нормированное нормальное распределение с m=0 и =1. Для этого вводится новая переменная u:

.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconАнализ хозяйственной деятельности
Обобщающие показатели качества продукции,15 Прямые показатели,16 Коэффициент ритмичности,17 Индивидуальные показатели качества продукции,18...

Измерения разделяют на прямые и косвенные icon1. Классификация затрат для целей управленческого учета Расходы это...
Расходы – это основная часть затрат, понесенных предприятием в связи с получением дохода. Расходы организации можно разделить на...

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconПрямые иностранные инвестиции в экономике Республики Корея
После окончания корейской войны основные источники инвестиций в Республику Корея (РК) приходились на иностранную помощь, иностранные...

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconЭкзаменационные вопросы по предмету: «гидравлика, гидравлические и пневматические системы»
Устройство прибора для измерения плотности жидкости. Методика измерения плотности

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconПрограмма общего курса “Ядерная физика” 32 часа
Обозначения и единицы измерения. Изотопы, изотоны, изобары. Единицы измерения массы, энергии, ядерных радиусов

Измерения разделяют на прямые и косвенные icon5. Предмет психодиагностики. Цели задачи область применения психодиагностики...
Психодиагностика – наука о конструировании методов измерения, классификации психических и психофизиологических особенностей человека,...

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconПланы семинарских занятий по дисциплине «международные системы измерения и учета в экономике»
Тема занятия: 1, 2, Метрология как наука, понятие метрологии. История развития и этапы формирования систем измерения. Международная...

Измерения разделяют на прямые и косвенные icon"Погрешность измерения физической величины средством измерений, возникающую...
Средство измерения не подлежит поверке. Какой способ применим для контроля его метрологических характеристик? 6

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconЛекция Концепция измерения: типы шкал, используемых в процессе сбора информации
Лекция Концепция измерения: типы шкал, используемых в процессе сбора информации. Понятие измерения в маркетинге. Измерительные шкалы:...

Измерения разделяют на прямые и косвенные iconАвтор теории прав собственности
В стране возник дефицит товаров, растут цены. Какие косвенные меры государственной политики предпочтительнее

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов