Методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формыобучения инженерно-технических специальностей

«УТВЕРЖДАЮ»             Ректор университета               _______________ А.В. Лагерев «_____»___________ 2011г.       МАТЕМАТИКА Интегральное исчисление Методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формыобучения инженерно-технических специальностей (II семестр) Брянск 2011 УДК 511 Математика. Интегральное исчисление [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формыобучения инженерно-технических специальностей (II семестр). – Брянск: БГТУ. - 36с. Разработали: доц. Ольшевская Н.А. доц. Цуленева Г.Г.  асс. Алейникова А.О. Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» (протокол № 2    от 18.10.11). Научный редактор Гореленков А.И. Редактор издательства Королева Т.И. Компьютерный набор Левкина А.П. Темплан 2011 г., п. 267 Подписано в печать 18.11.11. Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная Офсетная печать. Печ. л. 2,09 Уч.-изд. л. 2.09 Т. 30 экз. Заказ Бесплатно Издательство Брянского государственного технического университета Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, тел. 588-249 Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящие методические указания ориентированы на студентов I курса очной формы обучения инженерно-технических специальностей и состоят из четырех глав. В каждой главе приводятся необходимые для практических занятий теоретические сведения и большое количество примеров и задач различного уровня сложности для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Все задания снабжены ответами. Методические указания и подобранные задачи должны помочь студентам освоить данный раздел курса и приобрести устойчивые практические навыки решения задач. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие……………………………………………………..……….3 Глава 1 Неопределенный интеграл………………………………..5 Понятие неопределенного интеграла……………………. 5 Основные свойства неопределенного интеграла ………..5 Таблица основных неопределенных интегралов…………5 Непосредственное интегрирование и интегрирование заменой переменной……………………………………….6 Метод интегрирования по частям………………………..10 Интегрирование рациональных функций……………….11 Интегрирование тригонометрических функций………..13 Интегрирование иррациональных функций……………15 Глава 2. Определенный интеграл………………………………….17 Определение и вычисление определенного интеграла…17 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле………………………………….18 Применение определенного интеграла………………….19 Полярная система координат……………………19 Вычисление площадей фигур……………………19 Вычисление длины дуги плоской кривой………20 Вычисление объема тел вращения………………21 Несобственные интегралы………………………………..22 Глава 3. Кратные интегралы………………………………………23 Двойной интеграл………………………………………...23 3.2. Применение двойного интеграла………………………..26 3.3. Двойной интеграл в полярных координатах……………28 Глава 4. Криволинейные интегралы………………………………29 Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)………29 Криволинейный интеграл II рода (по координатам)….31 Список рекомендуемой литературы…………………………………...36 Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. Понятие неопределенного интеграла Функция F(x)называется первообразной функции f(x) на интервале (a,b), если для любого х(a,b) выполняется равенство F'(x)=f(x)или иначе dF(x)=f(x)dx. Если F(x) является первообразной функции f(x) на (a,b), то множество всех первообразных для f(x) можно задать как F(x)+C, гдеС – произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным интегралом и обозначается как . ^ 1.2. Основные свойства неопределенного интеграла 1. ; 2. ; 3. постоянная; 4. ; 5. Если , то и , где u=(u) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. 1.3. Таблица основных неопределенных интегралов 1. ; 1'. ; 1". ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7*).; 8*). ; 9. ; 10. ; 11*). ; 12*). ; 13*). ; 13'. ; 14*). ; 15*). ; 15'. ; 16*).. _____________ *) - интегралы табличными не являются. ^ 1.4. Непосредственное интегрирование и интегрирование заменой переменной Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла, приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Достаточно часто интегралы, не являющиеся табличными, могут быть приведены ктабличным путем введения новой переменной интегрирования, т.е. подстановки, однако общих методов подбора подстановок не существует. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку х=(t), где (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dх='(t)dt и . Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. _________________ Найти неопределенные интегралы: 1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. . _________________ 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ; 32.; 33. ; 34. ; 35. . Ответы: 1. а) ; б) х-х2+С; в) х3-х2+С; г); д); е); ж) ; з) ; и); к);2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. –ctgx-x+C. 7. ; 8. tgx-ctgx+C; 9. ; 10. 2arctgx-3arcsinx+C; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ln|3x2-7x+1|+C; 20. ln|e2+1|+C; 21. ln|1+cosx|+C; 22. ln|sinx|+C; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ln|arcsinx|+C; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ; 32. 2sinx+C; 33.; 34.; 35. ^ 1.5. Метод интегрирования по частям Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, тогда d(uv)=udv+vduи или . Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Выделим три типа интегралов, для которых метод интегрирования по частям наиболее эффективен I. где Pn(x) – многочлен n-й степени. За функцию u принимается многочлен Pn(x), dv – все остальные сомножители. Формула интегрирования по частям применяется последовательно n раз. II.  Pn(x)dx=dv, за u принимаются осталь-ные сомножители. III. гдеa, b – действительные числа. За u(x) можно принимать любую из двух функций. Формулу интегрирования по частям нужно применить дважды. Каждый раз за функцию u(x) принимается одинаковая по типу функция. _________________ Найти интегралы: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . Ответы: 1. –xcosx+sinx+C; 2. ; 3. (x2-2x+2)ex+C ; 4.  ; 5.  ; 6. x2sinx+2xcosx-2sinx+C ; 7. xlnx-x+C ; 8.  ; 9. xarcsinx+ ; 10.  ; 11. xtgx+ln|cosx|+C ; 12.  ; 13. 0,5lx(sinx+cosx)+C ; 14. . ^ 1.6. Интегрирование рациональных функций Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов: , где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя. Из неправильной дроби всегда можно выделить целую часть, интегрирование которой трудностей не составляет. Любую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители как можно представить в виде суммы простейших дробей следующим образом: _____________ Найти интегралы: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. 12. . 13. . 14. . Ответы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7.;8.x+3ln(x2-6x+10)+8arctg(x-3)+C; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. . ^ 1.7. Интегрирование тригонометрических функций Функция с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления, называется рациональной функцией и обозначается как R(sinx, cosx). В процессе интегрирования различных тригонометрических выражений часто используются известные тригонометрические формулы: . (1) . (2) . (3) Можно выделить несколько типов интегралов от тригонометрических функций: 1. . Он находится с помощью универсальной тригонометрической подстановки: . 2. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) нечетна относительно sin x, то можно cos x принять за t; если она нечетна относительно cos x, то за t принимается sin x. 3. Если подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x, то за переменную t принимается tgx, т.е. tgx=t; x=arctgt, ; sin2x=. 4. находятся после понижения степени подынтегральной функции. 5. вычисляются после применения к подынтегральным функциям формул (3). ____________________ Найти интегралы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. . Ответы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11.; 12.; 13. ; 14. или ; 15. ; 16. . ^ 1.8. Интегрирование иррациональных функций Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от функции рациональной. Можно выделить следующие типы интегралов от иррациональных функций: 1. . Для таких интегралов рационализация достигается подстановкой , гдеm – общий знаменатель рациональных чисел Р1, Р2,…, Pn. 2. Интегралы типа сводятся к табличным после выделения под радикалами полного квадрата и последующей подстановкой . 3. Интегралы типа приводятся к рационально зависящим от тригонометрических функций выражениям с помощью следующих тригонометрических подстановок соответственно: х=asint или x=acost, x=atgt, . ________________________ Найти интегралы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. . Ответы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. .

Похожие:

	Математика Математика. Дифференциальные исчисления функций одной и нескольких переменных [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания...		Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Английский язык» Методические указания предназначены для студентов специальностей факультета тампт первого курса дневной формы обучения
	Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Программирование... ...		Методические указания к лабораторным и практическим занятиям для... ...
	Методические указания к лабораторным и практическим занятиям по дисциплине «Газоснабжение» «Газоснабжение» для студентов специальностей 290700, 100700 очной и заочной форм обучения		Методические указания к практическим занятиям для студентов первого курса Методические указания предназначены для студентов первого курса технологического факультета дневной и заочной формы обучения. Данные...
	Методические указания, программа и контрольные задания для студентов... Для студентов заочной формы обучения инженерно – педагогических и инженерно – технических (нехимических)		Программа, методические указания и контрольные задания для студентов... ...
	Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «История украинской культуры» История украинской культуры: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «История украинской культуры» для студентов...		Белорусская государственная политехническая академия С., Журавкевич Е. В., Малаховская В. Э., Новоселов А. М., Чапланов А. М., Черный В. В. Контрольные работы и методические указания...