Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели




НазваниеЭто совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели
страница5/8
Дата публикации10.08.2013
Размер0.65 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8

.


В зависимости от степени, число (jω)n либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

, (5.7)

(5.8)

. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты ω1, из (5.8) и (5.9) получим числа U1) и V1). Вместе они образуют комплексное число D(jω1). На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V), рис. 5.1. Множество точек М(U,V), отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова. Годографы Михайлова имеют разный вид для устойчивых и неустойчивых систем.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = an, V(0) = 0, рис. 5.1. По мере увеличения ω от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V), то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль частотного полинома |D(jω)|, а угол φ(ω) – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5). Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке an, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.



Рис.5.1. Геометрическое представление частотного полинома D(jω)

Рис. 5.2. Годографы Михайлова для разных степеней полиномов

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.



Рис. 5.3. Годографы Михайлова неустойчивых систем

Рис. 5.4. Годографы Михайлова систем на границе устойчивости

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.
5.4. Критерий Найквиста

Критерий Гурвица и критерий Михайлова могут применяться для исследования устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем, на основе характеристического полинома. Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

. (2.9)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки – 1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. ^ Разомкнутая система устойчива. Если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывает точку –1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.8 и 5.9.



Рис. 5.8. Устойчивость

Рис. 5.9. Неустойчивость


Во второй формулировке критерия Найквиста используются понятие охвата точки годографом в положительном или отрицательном направлении. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора движется против часовой стрелки. Отрицательным – по часовой стрелке.

2. ^ Разомкнутая система неустойчива. Если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку –1 на оси абсцисс в положительном направлении m/2 раз, где mчисло корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.10 и 5.11 для m = 2.



Рис. 5.10. Устойчивость (m = 2)

5.11. Неустойчивость (m = 2)


Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р, , то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при ω = 0. Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста.

3. ^ Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка –1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.12 и 5.13.



Рис. 5.12. Устойчивость

Рис. 5.13. Неустойчивость

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку –1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде .
5.5. Выделение области устойчивости D – разбиением
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconПрограмма на языке Си это текстовый файл с расширением c
Алгоритмом называется точное и понятное предписаниe исполнителю совершить последовательность действий, направленных на решение поставленной...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели icon2. Источники формирования финансовых ресурсов организации
Фм – это система принципов и методов разработки и реализации управленческих решений, направленных на эффективное формирование, распределение...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconОбразовательная программа дополнительного образования «Практический тайм-менеджмент»
Под управлением временем понимается не только распределение времени по сферам человеческой деятельности: учёба, отдых, общение, работа,...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconОбщие понятия, основные принципы и способы защиты населения от опасностей,...
Мени проведения, цели, ресурсам и направленных на устранение или снижение на пост­радавших территориях до приемлемого уровня угрозы...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconПол Дж. Майер основатель и председатель правления
Достижение успеха больше зависит от на­строя, нежели от обстоятельств. Питер Дэниелс ясно продемонстрировал, что можно совер­шить,...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconЦели финансовой политики могут быть независимыми, взаимосвязанными...
Цели финансовой политики могут быть независимыми, взаимосвязанными и соподчиненными предполагающими последовательное или комплексное...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели icon1. Экономическая теория как наука, ее предмет, функции и методы
Экономика— это совокупность всех видов деятельности человека, направленных на создание благ, удовлетворяющих разнообразные потребности...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели icon1. Предмет, методы, источники изучения истории. Значение изучения курса «Отечественная история»
Ть прошлое необходима методология исторического исследования, т е совокупность методов и принципов, при помощи которых отбираются...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели icon6 супер-продуктов, способствующих сжиганию жира
Без активного плана изменить свой образ жизни те цели, которые вы поставили, останутся просто недосягаемыми. Всем, кто пытается сбросить...

Это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели iconОтветы к экзамену по дисциплине «Основы менеджмента»
Управление социально-экономическими процессами в организации – это система организующих, регулирующих и координирующих действий,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов