Государственный экзамен по математике
Вопросы по алгебре и геометрии
Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложения).
Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложения).
Смешанное произведение трех векторов (определение, свойства, приложения).
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
Группа движений плоскости.
Аналитическое задание движений плоскости.
Классификация движений плоскости.
Разложение движения в произведение осевых симметрий.
Подгруппы группы движений.
Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.
Гомотетия. Разложение преобразования подобия в композицию гомотетии и движения.
Группа аффинных преобразований плоскости, ее подгруппы.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Ее непротиворечивость.
Плоскость Лобачевского. Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского.
Теорема Эйлера для многогранников.
Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Независимость пятого постулата Евклида.
Проективная плоскость и ее модели.
Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
Линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация. Касательная к линии.
Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация. Координатные линии на поверхности.
Первая квадратичная форма и ее приложения.
Нормальная кривизна. Вторая квадратичная форма поверхности.
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактор-множества.
Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком.
Наибольший общий делитель двух чисел.
Наименьшее общее кратное двух чисел.
Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей.
Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операция над ними.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Равносильные системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Критерий совместности линейных уравнений.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Простые числа. Бесконечность простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
Основные свойства сравнений. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости.
Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
Линейные сравнения с одной переменной.
Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.
Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида.
Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел полиномы.
Строение простого алгебраического расширения. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
|
