Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков»




НазваниеУчебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков»
страница2/10
Дата публикации11.12.2013
Размер1.17 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Математика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ 2. Математическая модель игры.

В математических обозначениях «максимин для А» выражается mахiminj aij, аналогично, «минимакс для В» есть minjmахi aij, причем, очевидно, имеет место mахi minj aij  minjmахiaij. В случае, когда имеет место равенство, т.е. mахi minj aij = minjmахi aij =аi0j0, соответствующие чистые стратегии (i0 для игрока А и j0 для В) будут оптимальными, а про игру говорят, что она имеет седловую точку. Тогда аi0j0 является значением игры. Легко видеть, что игра имеет седловую точку тогда и только тогда, когда в платежной матрице имеется элемент аi0j0, наименьший для всех элементов своей строки i0 и наибольший для всех элементов своего столбца j0.

При отсутствии седловой точки невозможно получить оптимальное решение, пользуясь чистыми стратегиями. В этом случае для получения решения игры будем пользоваться смешанными стратегиями, которые заключаются в применении чистых стратегий с некоторыми частотами (вероятностями). Пусть р1, р2,.., рn и q1,q2,..,qm – наборы вероятностей, с которыми игроки А и В соответственно выбирают свои чистые стратегии. Естественно

=1, рi , qj ≥0 для всех i и j.

Если игрок А выбирает свои чистые стратегии с вероятностями рi, то его ожидаемый выигрыш должен составить

a11р1+ a21р2+…+ an1рn ,

при ответном выборе игроком В своей первой чистой стратегии,

a12р1+ a22р2+…+ an2рn ,

при ответном выборе игроком В своей второй чистой стратегии, и т.д.

a1mр1+ a2mр2+…+ anmрn

при выборе игроком В m-й чистой стратегии. С другой стороны, если игрок В выбирает свои чистые стратегии с вероятностями qj, то его ожидаемый проигрыш должен составить

a11q1+ a12q2+…+ a1mqm ,

если игрок A выберет свою первую чистую стратегию, и т.д.

an1q1+ an2q2+…+ anmqm,

при выборе игроком A n-й чистой стратегии.

Если игрок А выбрал стратегию (р1,р2,..,рn) и при этом игрок В выбрал (q1,q2,..,qm), то ожидаемый выигрыш игрока А (он же проигрыш игрока В) составит

g= .

Тогда игрок А при выборе рi стремится максимизировать свой наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам, тогда как игрок В выбирает qj с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш по строкам. Справедлива теорема фон.Неймана, которую мы примем без доказательств, утверждающая, что для любой конечной игры существуют оптимальные стратегии игроков А (р1*,р2*,..,рn*) и В (q1*,q2*,..,qm*), при этом максимум наименьшего ожидаемого выигрыша игрока А совпадает с минимумом наибольшего ожидаемого проигрыша игрока В (обозначим это значение игры через g). Таким образом, математическую модель конечной игры для игрока А можно представить в следующем виде:

Найти такие рi ≥0, для которых выполняются соотношения

autoshape 2993 р1+р2+…+рn=1,

a11р1+ a21р2+…+ an1рn ≥ g,

a12р1+a22р2+…+an2рn≥g, (1)

……………………. ……

a1mр1+ a2mр2+…+ anmрn≥ g,

и функция Z=g принимает максимальное значение.

Упростим полученную задачу, разделив все ограничения (1) на значение игры g > 0 и положив хi =рi/g для всех i. (Проведение аналогичных рассуждений для случая g ≤ 0 предоставляется читателю). В силу того, что

max g =min 1/g = min(р1/g+р2/g+…+рn/g) = min(x1+x2+…+xn)

задача принимает вид

минимизировать Z= x1+x2+…+xn

при ограничениях

autoshape 2991 a11x1+a21x2+…+an1xn ≥ 1,

a12x1+a22x2+…+an2xn ≥ 1, (2)

……………………. ……

a1mx1+a2mx2+…+ anmxn≥ 1,

x1, x2,…,xn ≥ 0.

Мы получили задачу линейного программирования (Приложение).

^ Обратите внимание: строка ограничения формируется из столбца платежной матрицы!

Решая ее (например, симплекс–методом), находим оптимальное решение x1*, x2*,…,xn*, откуда, разделив на Z*=x1*+x2*+…+xn*, получаем оптимальную стратегию для игрока А (р1*,р2*,..,рn*), которая заключается в применении i-й чистой стратегии с частотой рi*= хi*/ Z*.

Двойственная ЗЛП – максимизировать F=y1+y2++ym→max;

пautoshape 4100ри ограничениях

a11y1+ a12y2+ …+ a1mym ≤1;

a21y1+ a22y2+ …+ a2mym ≤1; (3)

…………………………..

an1y1+ an2y2+ …+ anmym ≤1;

y1≥0; y2≥0; ym ≥0.

Здесь строка ограничения формируется из строки платежной матрицы.

Решая данную ЗЛП, находим оптимальное решение у1*, у2*,…,уm*, откуда, разделив на F*=y1*+y2*+…+ym*, получаем оптимальную стратегию для игрока B (q1*, q2*,.., qm*), которая заключается в применении j-й чистой стратегии с частотой qj* = yj*/ F*.

Затем находим цену игры g =1/Z*=1/F*.

Правила упрощения платежной матрицы:

Если к каждому элементу платежной матрицы прибавить одно и то же число, то решение (р1*,р2*,..,рm*) не изменится, а цена игры изменится ровно на добавленную величину.

Если каждый элемент платежной матрицы умножить на одно и то же число (не 0), то решение (р1*,р2*,..,рm*) не изменится, а цена игры изменится ровно во столько же раз.

Если какая-либо строка платежной матрицы доминирует над другой строкой (или линейной комбинацией строк), то доминируемые строки не войдут в оптимальную смешанную стратегию и их можно удалить.

Из двух стратегий та "лучше" (доминирует), которая гарантирует больший выигрыш независимо от действий противника (исходов). Ясно, что доминирующая над всеми строка, если она существует, будет являться чистой оптимальной стратегией первого игрока. Однако, в общем случае, строки, доминирующей над всеми другими строками, может и не существовать.

Проиллюстрируем использование рассмотренных методов при описании и решении некоторых состязательных задач.

Пример 1. Рассмотрим тотализатор на ипподроме. Пусть выплаты в случае победы одной из трех лошадей относятся к ставке как 1:1, 3:1 и 4:1. Тогда платежная матрица игрока на скачках примет вид:

line 2987line 2988 1 –1 –1 Если прибавить к каждому элементу матрицы число К, то

А=–1 3 –1 оптимальные стратегии не изменятся, а значение игры

–1 –1 4 увеличится на К. Для упрощения матрицы добавим

К=1, тогда получим:

line 2989line 2990 2 0 0 В соответствие с (2) задача принимает вид:

А= 0 4 0 минимизировать Z= x1+x2+x3

0 0 5 при ограничениях

autoshape 2992 2x1+ 0x2+0x3 ≥ 1,

0x1+ 4x2+0x3 ≥ 1,

0x1+ 0x2+5x3≥ 1,

x1, x2,x3 ≥ 0.

Легко заметить, что решение этой задачи:

x1*=1/2, x2*=1/4, x3* =1/5.

Значение упрощенной игры 1/Z*=1/(x1*+x2*+x3*)=20/19, откуда (при К=1) значение исходной игры равно 20/19 – 1 = 1/19,

р1*=х1*/Z*=10/19, р2*=х2*/Z*=5/19, р3*=х3*/Z*=4/19.

Таким образом, оптимальная стратегия игрока на скачках в данном примере заключается в смешанной стратегии делать ставки на всех трех лошадей в пропорции 10:5:4, при этом выигрыш игрока (игра имеет положительное значение!) будет равным 1/19 суммы его ставок, независимо от результата гонок. (Если цена игры отрицательна, то не следует в нее играть, так как даже при оптимальной стратегии гарантирован проигрыш, правда, минимальный).

Пример 2. Предлагается три варианта инвестиций в сельское хозяйство и прогноз получения доходов за год (дивиденды и повышение стоимости капитала) при различных перспективах на урожай.

Варианты инвестиций

Перспективы на урожай

хорошие

средние

плохие

1. АО «Сельхозтехника»

40

30

20

2. АО «Агроимпорт»

0

100

250

3. АО «Агроэкспорт»

150

50

–50

Доходы в платежной матрице приведены в процентах от вложенного капитала. Как распорядиться капиталом, чтобы получить наибольший доход? Искомые переменные р1, р2, р3 определяют пропорции вложений. Заметим, что элементы первой строки платежной матрицы меньше средних арифметических соответствующих элементов второй и третьей строк, и она может быть удалена (первый вариант инвестиций заведомо неэффективен по сравнению с комбинацией второго и третьего вариантов – вкладывать деньги поровну во второй и третий проект). Получаем задачу линейного программирования

минимизировать Z= x2+x3

при ограничениях

autoshape 2994


0x2 + 150x3 ≥ 1,

100x2+50x3 ≥ 1,

250x2 – 50x3≥ 1,

x1=0, x2, x3 ≥ 0.

Решая данную задачу стандартными средствами (см. Приложение 1) получим следующее решение

x1*=0, x2*=1/150, x3* =1/150.

Значение игры 1/Z*=1/( x1*+x2*+x3*)=150/2=75, откуда

р1*=0, р2*=х2*/Z*=75/150=1/2, р3*=х3*/Z*=75/150=1/2.

Таким образом, оптимальной стратегией является вложение капитала равными долями во второй и третий варианты, при этом гарантированный доход составит 75%.
^ 3. Игры с природой

Антагонистические конфликты в реальной жизни встречаются очень редко за исключением искусственно созданных конфликтных ситуаций в виде спортивных и азартных игр. Однако, часто бывает удобно в задачах принятия решения в условиях неопределенности наделить случайный фактор "разумом" и считать, что он активным образом противодействует достижению поставленной цели. В этом случае возникает антагонистическая игра с некоторым воображаемым противником, которого принято называть "природой". Такая постановка задачи позволяет оценить возможности достижения цели при самых неблагоприятных условиях.

Рассмотрим следующий пример. Пусть у фермера имеется S гектаров пахотных земель, на которых он может выращивать различные культуры K1, K2,..., Kn. Урожайность культур, а соответственно и доход, будут существенным образом зависеть от погодных условий в весенне-летний период.

На основе многолетних наблюдений можно классифицировать возможные для данной местности погодные условия P1, P2,..., Pm и объявить их стратегиями "природы". Определим матрицу выигрышей A={aij} как ожидаемый доход с участка при посадке на нем i-ой культуры и j-ых погодных условиях.

Не исключено, что получившаяся матричная игра будет иметь решение в чистых стратегиях. Это будет означать, что для данной местности существует культура, выращивание которой дает наибольший доход. Действительно, нечто подобное в мире случается, существуют целые страны, выращивающие только рис, или хлопок, или кофе, или цитрусовые и т.п. Россия, к сожалению, почти всюду является зоной рискованного земледелия, поэтому на существование решения игры в чистых стратегиях надеяться не приходится.

Однако, согласно теореме фон.Неймана, всегда будет существовать решение в смешанных стратегиях. Пусть g* – значение игры и (р1*,р2*,..,рm*) оптимальная смешанная стратегия фермера.

Тогда площадь, выделяемая под каждую культуру, будет соответственно равна Si=S∙рi га.

Если "природа" выберет активную (оптимальную с точки зрения игрока В) стратегию, то фермер все равно реализует значение игры. Поскольку "природа" реальным разумом не наделена и не обязательно будет противодействовать фермеру, то не исключено, что будет реализована пассивная стратегия. Естественно, в этом случае доход фермера превысит ожидаемый.

Игры с "природой" могут быть использованы также для решения задач выбора оборудования для предприятия, определения состава научно-исследовательского коллектива, выбора проектов строительства в сейсмоопасной зоне и т.п. В этих играх компоненты оптимальной смешанной стратегии задают необходимые пропорции.

В случае, когда при игре с природой необходимо выбрать одно из альтернативных решений, характеризующееся различными исходами (смешение стратегий по логическим или техническим причинам невозможно), то возникает задача принятия решений в условиях неопределенности и риска. Если вероятности исходов не известны, это ситуация неопределенности, при известных вероятностях исходов – ситуация риска.

Рассмотрим сначала правила принятия решений в условиях неопределенности (без использования численных значений вероятностей исходов – правила максимакса, Вальда, Сэвиджа, Лапласа).

Пример 3. Пусть себестоимость пирожного в нашей кондитерской составляет 7 руб., свеженькое продаем за 13 руб., а невостребованное за день сдаем на свиноферму за 3 руб. Сколько пирожных надо производить в день, если известно лишь, что спрос на них составляет от 1 до 5?

Составим таблицу возможных доходов (табл.1), расположив построчно наши альтернативы (производить от 1 до 5 пирожных), а в столбцах исходы (продать от 1 до 5), имея в виду, что доход от продажи одного пирожного составляет 6 руб., а потери при не продаже составляют 4 руб.

Таблица 1 – Доход (прибыль) в день.

Объем производства

Возможные исходы: спрос пирожных в день

Среднее

1

2

3

4

5

6

1

6

6

6

6

6

6

2

2

12

12

12

12

10

3

–2

8

18

18

18

12

4

–6

4

14

24

24

12

5

–10

0

10

20

30

10

Правило максимакса – максимизация максимального дохода. В каждой альтернативе найдем исход с максимальной оценкой (в табл.1 они все находятся в последнем столбце), и выбираем альтернативу, позволяющую получить самый большой доход. В нашем примере это соответствует решению производить 5 пирожных. Данный подход использует азартный карточный игрок (или пан или пропал).

^ Правило максимина (Вальда) – максимизация минимального дохода. В каждой альтернативе найдем исход с минимальной оценкой (в табл.1 они все находятся в первом столбце), и выбираем альтернативу, позволяющую максимизировать доход в самых худших для нас исходах. В нашем примере это соответствует решению производить 1 пирожное. Это очень осторожный подход к принятию решений – стратегия крайнего пессимиста.

^ Правило, основанное на принципе неопределенности Лапласа. В соответствие с этим принципом предполагается, что все исходы равновозможные, поэтому выбирается альтернатива, дающая максимальный средний доход. В нашем примере этому правилу отвечают альтернативы выпускать три или четыре пирожных в день, имеющие средний доход 12 (колонка 6 табл.1).

^ Правило минимакса (Сэвиджа) – минимизация максимально возможных потерь. Составим таблицу возможных потерь или упущенной выгоды (табл.2). Она составляется из таблицы доходов следующим образом:

для каждого исхода (столбца) находится максимальный доход, затем вычисляются максимально возможные потери всех альтернатив данного исхода (из максимального дохода вычитается доход соответствующей альтернативы).

Для каждой альтернативы находятся максимально возможные потери (выделены жирным цветом). Затем выбирается та альтернатива, которой соответствует минимальное значение максимальных потерь. В данном примере этому правилу подходят альтернативы выпускать три или четыре пирожных в день.
Таблица 2 – Возможные потери в день.

Объем производства

Возможные исходы: спрос пирожных в день

1

2

3

4

5

1

0

6

12

18

24

2

4

0

6

12

18

3

8

4

0

6

12

4

12

8

4

0

6

5

16

12

8

4

0

^ Критерий Гурвица – компромиссный способ принятия решений.

Этот способ принятия решения представляет собой компромисс между осторожным правилом максимина (Вальда) и оптимистичным правилом максимакса. ЛПР задает уровень пессимизма α (вероятность худшего исхода), тогда оптимистичному исходу дается вероятность 1–α, и выбирается альтернатива, дающая наибольший средневзвешенный доход при наличии только пессимистического и оптимистического исходов с заданными вероятностями.

Так, в нашем примере, худший исход – спрос на одно пирожное в день, лучший – пять пирожных. Зададим уровень пессимизма 0.4, тем самым мы предполагаем, что на каждые 4 дня худшего спроса в одно пирожное приходится 6 дней лучшего спроса в 5 пирожных. Рассчитаем средневзвешенные доходы для каждой альтернативы (табл. 3).

Таблица 3 – Критерий Гурвица.

Объем производства

Доход при спросе в день

вероятность исхода

Средневзвешенный доход

1

5

0.4

0.6

1

6

6

2.4

+3.6

=6

2

2

12

0.8

+7.2

=8

3

–2

18

–0.8

+10.8

=10

4

–6

24

–2.4

+14.4

=12

5

–10

30

–4.0

+18.0

=14

В данном случае максимальный средневзвешенный доход имеет решение выпускать пять пирожных в день.

^ Правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов.

Пусть теперь нам известны вероятности всех исходов.

Например, дана статистика продаж за последние 50 дней (табл. 4).

Таблица 4 – Относительные частоты (вероятности) дневного спроса на пирожные.

Продано пирожных в день

1

2

3

4

5

Частота

5

10

15

15

5

Относительная частота (вероятность)

0.1

0.2

0.3

0.3

0.1



Правило максимальной вероятности – максимизация наиболее вероятных доходов.

Наибольшая вероятность 0.3 соответствует спросу в три и четыре пирожных в день. Рассмотрим теперь доходы при каждом из этих исходов и выберем альтернативу, дающую наибольший доход (см. табл. 1). При спросе в 3 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 3 пирожных (доход составляет 18 руб.), при спросе в 4 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 4 пирожных (доход составляет 24 руб.), следовательно, по этому правилу надо производить 4 пирожных в день.

^ Оптимизация математического ожидания (правило Байеса) Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями. Использование критерия математического ожидания наиболее приемлемо в случаях многократного принятия решения в одинаковых условиях, позволяя максимизировать среднюю прибыль (или минимизировать средние убытки) при большом временном промежутке. В соответствии с законом больших чисел (который проходят в разделе Теория вероятностей дисциплины «Математики») при многократном принятии решения мы как раз и получим математическое ожидание (среднее значение) дохода либо потерь.

а) Максимизация ожидаемого дохода.

Составим таблицу ожидаемых доходов для каждой альтернативы (табл.5).

Таблица 5. Возможный доход (вероятность×доход из табл.1).

Объем производства

Возможные исходы: спрос пирожных в день

Ожидаемый доход

1

2

3

4

5

1

0.6

1.2

1.8

1.8

0.6

6

2

0.2

2.4

3.6

3.6

1.2

11

3

–0.2

1.6

5.4

5.4

1.8

14

4

–0.6

0.8

4.2

7.2

2.4

14

5

–1.0

0.0

3.0

6.0

3.0

11

Максимальное значение ожидаемого дохода 14 руб. в день, следовательно, используя критерий максимизации ожидаемого дохода необходимо производить три или четыре пирожных в день.

б) Минимизация возможных потерь.

Составим таблицу возможных потерь для каждой альтернативы (табл.6).

Таблица 6 Возможные потери (вероятность×потери из табл. 2).

Объем производства

Возможные потери: спрос пирожных в день

Ожидаемые возможные потери

1

2

3

4

5

1

0

1.2

3.6

5.4

2.4

12.6

2

0.4

0

1.8

3.6

1.8

7.6

3

0.8

0.8

0

1.8

1.2

4.6

4

1.2

1.6

1.2

0

0.6

4.6

5

1.6

2.4

2.4

1.2

0

7.6

Минимальные ожидаемые возможные потери равны 4.6 руб. в день, т.е. наилучшее решение – также как и в случае а, производить три или четыре пирожных в день.

Значения вероятностей из табл.4 основаны на статистической либо экспертной информации, которая подвержена изменениям. Исследование зависимости выбора решения от изменений значений вероятностей называется анализом чувствительности решения.

Таблица 7. Зависимость выбора решения от изменений значений вероятностей


Наименование показателей

Возможные решения:

объем производства в день

1

2

3

4

5

Базовые вероятности

0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

Ожидаемый доход в день

6

11

14

14

11

Альтернативные вероятности (1)

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

Ожидаемый доход в день (1)

6

10

12

12

10

Альтернативные вероятности (2)

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

Ожидаемый доход в день (2)

6

11

14

15

14

В альтернативном варианте (1) решение, дающее максимальный доход, не претерпело изменений, хотя средняя прибыль снизилась с 14 руб. до 12 руб. В альтернативном варианте (2) решение изменилось, наибольший средний доход 15 руб. дает альтернатива производить 4 пирожных в день. Таким образом, выбор решения оказался нечувствителен к варианту (1) изменений вероятностей, но чувствителен к варианту (2).

Пример 4. Рассмотрим схожую с предыдущей задачу управления запасами. Пусть спрос на некоторый товар описывается следующим рядом распределения вероятностей:

Спрос

0

1

2

3

4

5

Вероятность спроса

0.10

0.15

0.40

0.15

0.10

0.10

Определить уровень запасов, при котором вероятность полного истощения запасов не превышает 0.45. Определить также уровень запасов при условии, что средние значения дефицита и превышения запасов не должны быть больше 1 и 2 единиц соответственно.

Будем анализировать данную задачу как игру уровня запасов со спросом. Для каждого значения уровня запасов последовательно вычисляем вероятность его полного истощения. Она равна сумме вероятностей событий, когда спрос превышает данный запас. Затем вычисляем средний дефицит для каждого уровня запаса. Для уровня 0 средний дефицит равен 10.15+20.4+30.15+40.1+50.1=2.3, для уровня 1 получаем 10.4+20.15+30.1+40.1=1.4 и т.д. Аналогично вычисляем среднее превышение запасов, например, для уровня 0 превышения нет, для уровня 1 среднее превышение составляет 10.1=0.1, для уровня 2 получаем 20.1+10.15=0.35 и т.д. Сведем все результаты расчетов в таблицу 8.

Таблица 8

Уровень

запаса

Q

Вероятность

полного

истощения

Средний

дефицит

Среднее

превышение

запасов

0

0.9

2.3

0

1

0.75

1.4

0.1

2

0.35

0.65

0.35

3

0.2

0.3

1.0

4

0.1

0.1

1.8

5

0

0

2.7

Из табл. 8 получаем ответы на все интересующие нас вопросы:

При Q ≥2 вероятность полного истощения запасов не превышает 0.45. При 4≥Q≥2 средние значения дефицита и превышения запасов не больше 1 и 2 единиц соответственно.

Пример 5. Введем в пример 4 условие, чтобы ожидаемый дефицит был меньше превышения хотя бы на 1.

Тогда из табл. 8 находим уровень запасов, удовлетворяющий этому условию, Q ≥4.

Стоимость достоверной информации.

Неопределенность при принятии решений может быть уменьшена путем сбора дополнительной информации, за которую нужно платить. Максимальная сумма денег, которую стоит заплатить, и является стоимостью достоверной информации. Так, если бы мы в нашей кондитерской заранее знали спрос на следующий день, то готовили бы столько пирожных, сколько обеспечивают максимальный доход (см. диагональ табл. 1). В этом случае ожидаемый доход был бы равен

6×0.1+12×0.2+18×0.3+24×0.3+30×0.1=18.6

Стоимость достоверной информации есть разница между этим ожидаемым доходом и максимальным ожидаемым доходом без достоверной информации. Это число 18.6 – 14 = 4.6 равно минимальным ожидаемым возможным потерям. Таким образом, наша кондитерская может заплатить 4.6 руб. в день за информацию о спросе да следующий день, т.е. это максимальная плата за маркетинговые услуги.

^ Использование математического ожидания и среднего квадратичного отклонения для оценки риска.

Если решение принимается однократно, то необходимо определить степень отклонения от математического ожидания, т.е. вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение для оценки риска.

Чем меньше среднее квадратичное отклонение, тем больше уверенности, что принятое решение даст результат, близкий к математическому ожиданию.

Рассмотрим применение среднего квадратичного отклонения для оценки риска на небольшом примере.

Пример 6. Предприятие производит некоторую продукцию, спрос на которую в течение месяца 6, 7, 8 или 9 ящиков с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного ящика равны 45 тыс. руб. Предприятие продает один ящик по цене 95 тыс. руб. Если ящик с продукцией не продается в течение месяца, то она портится и предприятие не получает дохода. Сколько ящиков следует производить?

Рассчитаем доходы по каждой альтернативе и каждому исходу, математическое ожидание дохода и среднее квадратичное отклонение по каждой альтернативе и занесем в табл. 9.

Поясним расчеты для альтернативы «производить 8 ящиков».

Если спрос 6 ящиков, то доход составит 6×95 – 8×45 = 210 тыс. руб.

Если спрос 7 ящиков, то доход составит 7×95 – 8×45 = 305 тыс. руб.

Если спрос 8 ящиков, то доход составит 8×95 – 8×45 = 400 тыс. руб.

Если спрос 9 ящиков, то доход тот же, так как произведено всего 8.

Таблица 9.

Объем производства

(ящиков)

Возможные исходы: спрос ящиков в месяц

Ожидаемый доход

(тыс. руб.)

Среднее квадратичное

отклонение

6 (0,1)

7 (0,3)

8 (0,5)

9 (0,1)

6

300

300

300

300

300

0

7

255

350

350

350

340,5

28,5

8

210

305

400

400

352,5

63,73

9

165

260

355

450

317

76

Ожидаемый доход 210×0,1+305×0,3+400×0,5+400×0,1=352,5.

Дисперсия дохода составит (210 –352,5)2×0,1 + (305–352,5)2×0,3 +

+ (400–352,5)2×0,5+(400–352,5)2×0,1=4061,25.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconУчебное пособие по английскому языку для студентов факультета ксипо...
Рассмотрено и одобрено на заседании учебно-методического совета ао «Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина»

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconРабочая программа дисциплины «Маркетинговый анализ»
Рассмотрено и рекомендовано на заседании кафедры анализа хозяйственной деятельности и прогнозирования (протокол №1 от «4» сентября...

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconУчебное пособие по курсу «Основы безопасности жизнедеятельности»...
Учебное пособие обсуждено и утверждено на заседании методического заседания кафедры

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconМетодические указания по оценке жилой недвижимости по дисциплине «Экономика недвижимости»
Учебно-методическое пособие утверждено на заседании кафедры социально-гуманитарных дисциплин и рекомендовано к печати Учебно-методическим...

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconУчебное пособие Рекомендовано Учебно-методическим объединением по...
Рецензент: В. Л. Курский — доктор экономических наук, профессор кафедры «Экономика и управление» ТулГУ

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» icon«искусство ведения хозяйства»
Иначе – экономическая теория: макроэкономика (экономика страны и мира) и микроэкономика (экономика домохозяйства, фирмы, отдельных...

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconМетодические рекомендации по выполнению заданий практики Учебно-методическое...
Рассмотрено на заседании кафедры художественного образования, протокол №7 от 02. 03. 2010 г

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconЧереповецкий государственный университет
Рассмотрено на заседании кафедры биологии и общей экологии, протокол №6 от 22. 02. 05 г

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconКриминалистика
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры гражданских и уголовно-правовых дисциплин, протокол №4 от 03. 12. 2009 г

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании кафедры «Экономика отраслей и рынков» iconУчебное пособие предназначено для студентов высших медицинских учебных...
Рекомендовано в печать по решению Координационного научно–методического совета и утверждено на заседании Редакционно-издательского...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов