Министерство образования и науки российской федерации
Скачать 1.16 Mb.
|
Шифр: Б2.в.4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ МОСКВА 2010 ВВЕДЕНИЕ При исследовании реальной системы (объекта) обычно систему представляют в виде математической модели, что позволяет использовать для ее исследования различные математические методы. Для исследования системы по е математической модели необходимо найти вычислительный метод, приводящий к решению поставленной задачи. Рассмотрению совокупности вычислительных методов и посвящена дисциплина «Вычислительная математика». Вычислительная математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и экономических исследованиях. Реально на практике мы работаем с дискретностью: конечным множеством экспериментально полученных данных, дискретным описанием непрерывных процессов, что широко используется для решения многих прикладных задач. Это дает возможность разрабатывать эффективные машинные алгоритмы решения задач. Владение основными понятиями и теоретическими результатами дисциплины «Вычислительная математика» является необходимым условием подготовки квалифицированного инженера. Ниже рассматриваются основные математические методы, применяемые в инженерной практике при создании и исследовании систем (объектов). Материал приводится в виде курса лекций, включающего в себя девять разделов. Для некоторых из разделов студент выполняет свой вариант контрольного задания на самостоятельную работу. Индивидуальное задание студента находится по последней паре цифр номера зачетной книжки. Строка выбирается по предпоследней цифре зачетной книжки, а столбец таблицы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки. Например, зачетная книжка № 432074. Задание находится в строке 7 и столбце 4 таблицы задания на самостоятельную работу. Цель дисциплины – дать студентам необходимые знания для работы с формальным математическим аппаратом, обучить стандартным методам и приемам приближенного решения прикладных задач. При изучении дисциплины используются знания, навыки и умения, приобретенные студентами в процессе изучения общего курса высшей математики. В результате изучения дисциплины «Математика: вычислительная математика» студенты должны: - ЗНАТЬ теоретические основы и методы, используемые для приближенного решения прикладных задач. - УМЕТЬ использовать полученные знания при построении и описании моделей реальных процессов, при разработке методов и алгоритмов решения прикладных задач. ^ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ИХ СОЗДАНИЕ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ 1.1 ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА КОМПЬЮТЕРЕ. При решении задачи на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку. Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе. Широкое внедрение математики во все сферы жизни вызвано необходимостью анализа и прогнозирования явлений и процессов. Для осуществления указанных целей, прежде всего необходимо разработать математическую модель рассматриваемого явления. Математическая модель – то описание наиболее существенных свойств и особенностей явления на языке математических понятий и уравнений. Схема исследования технической задачи представлена на рисунке:
Построение модели задачи начинается выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание. Математика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в будущем. Как правило, приходится использовать наряду с точными методами и приближенные методы, обеспечивающие получение результата с заданной точностью. Поэтому важной задачей по выбору вычислительного метода является оценка погрешности решения. Процесс решения задачи согласно выбранному методу описывается в виде алгоритма. После анализа результатов разработчик сопоставляет их с поставленной задачей и, если необходимо, меняет модель, метод, алгоритм и программу. Цикл, показанный на рисунке, повторяется до тех пор, пока цель не будет достигнута. Основным критерием истины является эксперимент. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наиболее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования. ^ И РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ. Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи баллистики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью V0 под углом x0 к горизонту. Для начала предположим, что скорость V0 и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основанная на следующих допущениях: 1) Земля – инерциальная система; 2) ускорение свободного падения g = const 3) сопротивление воздуха отсутствует. В этом случае составляющие скорости V движения тела по осям X и Y равны (см. график к траектории полета тела). Vx=V0cosα0, Vy=V0sinα0 – gt, а их пути являются функциями времени.  X= V0tcosα0; Y= V0tsinα0 –  , где t – время движения.Определяя t из первого уравнения t=  и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющего собой параболу Из условия y=0 получаем дальность полета тела  Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых скоростях движения тела. С увеличением скорости V0 дальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (1). Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (1) говорит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление. Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями. Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил увеличить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в модели Галилея. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, а сила земного притяжения не принималась постоянной. Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности. В результате последовательных уточнений была создана математическая модель, наиболее точно описывающая задачу внешней баллистики. Совпадение ее данных с результатами стрельб показало хорошее совпадение. Хорошим и наглядным примером является разработка и внедрение математической модели полета самолета для различных целей. На этих примерах показаны этапы создания, развития и уточнения математической модели объекта, которые сопоставляются постоянно сопоставлением и проверкой практикой. Именно недостаточно хорошее совпадение результатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальнейшее совершенствование модели. Наконец отметим, что выбор конкретной математической модели для ее анализа необходимо производить из условия обеспечения достаточной точности и простоты модели. При этом всегда следует помнить, что нельзя стрелять из пушки по воробьям, т.е. не следует использовать очень точную и сложную модель, когда требуется небольшая точность результатов. ^ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1 ИСТОЧНИКИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ. Анализ погрешности результатов вычислений должен являться непременной частью при математическом моделировании объекта. Причины возникновения погрешностей: 1. математическая модель объекта не является точной ее копией (неточно задаются исходные данные). 2. Применяемый математический метод дает приближенное решение задачи. 3. При вводе данных в ЭВМ и выполнении математических операций производится округление чисел. В результате получаются соответствующие погрешности:
Пример: математическая модель движения маятника представляется уравнением:  φ(t) – угол отклонения маятника; l – длина маятника ; μ – коэффициент трения; t – время. В данной модели уже заложена неустранимая погрешность, поскольку она соответствует объекту лишь приближенно. Данное дифференциальное уравнение не решается в явном виде. При применении математического метода возникает погрешность метода, а при выполнении арифметических операций – вычислительная погрешность. П ~ усть I – точное значение параметра; ~ I – значение параметра, соответствующее математическому описанию; ~ In – значение параметра при реализации численного метода; In* – приближенное значение параметра, получаемое при вычислениях. Т ~ ~ огда ρ1=|I – I| – неустранимая погрешность; ~ ρ2=|I – In| – погрешность метода; ρ3=|I – In*| – вычислительная погрешность. П ~ олная погрешность ρ0=ρ1+ ρ2+ ρ3 = |I – In*| ^ ПОГРЕШНОСТЬ. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА. ЧИСЛО ВЕРНЫХ ЗНАКОВ. Пусть А – точное значение параметра; а – приближенное его значение. Тогда абсолютной погрешностью приближения a называют величину |A – a| ≤ ∆(a) Отсюда следует, что точное число А заключено в границах a–∆(a) ≤ A ≤ a+∆(a) Следовательно, a–∆(a) есть приближенное число А по недостатку, а a+∆(a) – приближенное число А по избытку. Для краткости пользуются записью A = a±∆(a) Пример 1. Определить абсолютную погрешность числа а=3,14, заменяющего число π. Решение: т.к. 3,14<π <3,15, то |π – a|<0,01 Следовательно, ∆(a)=0,01 Абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности числа. Так, например, если при измерении длин двух стержней получено l1=100,8±0,1 см и l2=5,2±0,1 см то качество первого измерения выше, чем второго. Точность данных измерений оценивается абсолютной погрешностью, приходящейся на единицу длины, называемой относительной погрешностью, т.е. относительной погрешностью называют величину δ(a) =  = Если ∆a<  и обычно вычисляется в процентах.Известно, что всякое число а может быть представлено в виде, например: 141,59…=1∙102+4∙101+1∙100+5∙10-1+9∙10-2+… Введем понятие значащей и верной цифр. ^ числа а называются все цифры с первой ненулевой слева. Например: а=0,005860 Все подчеркнутые цифры являются значащими. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность этого числа меньше или равна половине единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например: для числа 2,15 абсолютная погрешность не превосходит 0,005, если абсолютная погрешность меньше 0,005, то следует писать 2,150 – это и есть верные значащие цифры. Часто возникает необходимость в округлении чисел. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры. При этом: 1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся знаки остаются без изменения; 2) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица; 3) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; 4)если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Пример 1. Округляя число π=3,14159… до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими 0,5∙10-4; 0,5∙10-3; 0,5∙10-2. Пример 2. Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, равной 0,5∙10-1=0,05. ^ ПОГРЕШНОСТЬЮ. ТЕОРЕМА. Если положительное приближенное число имеет n верных знаков, то относительная погрешность его δ(а) не превосходит величину δ(а)≤0,1n-1/2am, где am – первая значащая цифра числа а. Пример: определить относительную погрешность числа а, если вместо числа π взять а=3,14. В нашем случае am=3, n=3 отсюда δ(а) ≤  =  = 0,1666%^ ЗАДАНИЕ 1 ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ 1. Определить, какое равенство точнее. 2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки. 3. Найти абсолютные и относительные погрешности, если они имеют только верные числа. Задания приведены в таблице 1. ТАБЛИЦА 1
ПРИМЕРЫ Заданы: 1) а1 = 9/11 = 0,818 и а2 =  = 4,24;2) 72,353±0,026; 3) 0,4357. РЕШЕНИЕ: 1. Находим с большим числом десятичных знаков а1=9/11=0,81818…, а2=  =4,2426…Вычислим абсолютные погрешности, округляя их с избытком: ∆a1 = | 0,81818–0,818 | ≤ 0,00019 ∆a2 = | 04,2426–4,24 | ≤ 0,0027 Предельные относительные погрешности составляют: δ1 = ∆a1/а1 = 0,00019/0,818 = 0,00024 = 0,024% δ2 = ∆a2/а2 = 0,0027/4,24 = 0,00064 = 0,064% Т.к. δ1<δ2, то равенство 9/11 = 0,818 является более точным. 2. Здесь а = 72,353±0,026. По условию погрешность ∆a = 0,026 < 0,05. Это значит, что в числе 72,353 верными являются цифры 7, 2, 3. По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятичные доли: а1 = 72,4; ∆a1 = ∆a+∆окр = 0,026 + 0,047 = 0,073 Полученная погрешность меньше 0,5. Поэтому надо уменьшить число цифр в приближенном числе до двух. а2 = 72; ∆a1 = ∆a+∆окр = 0,026 + 0,353 = 0,379 Так как ∆a2<0,5, то обе оставшиеся цифры верны. 3. Так как все четыре цифры а=0,4357 верны, то абсолютная погрешность ∆а=0,00005, а относительная погрешность δа =  =  ∙ 100 = 0,01147^ ЧИСЛАМИ. При сложении и вычитании их абсолютные погрешности складываются. При умножении и делении их относительные погрешности складываются. Относительная погрешность степени или корня от приближенного числа равна относительной погрешности числа, умноженной на степень или деленной на показатель корня соответственно. Для случая двух приближенных чисел а и b эти правила можно выразить математически: ∆(a±b)= ∆a±∆b; δ (2.1) (a∙b)= δa+δb; δ(a/b)= δa+δb; δ(ak)=k∙δa; δ(  )= .Во избежание завышения абсолютной погрешности суммы(разности) большого количества слагаемых, округленных до m-ого десятичного знака (т.е. их погрешности оцениваются величиной 0,5∙10-m), абсолютная погрешность суммы (разности) оценивается правилом Чеботарева: ∆s =  ∙ 0,5 ∙ 10-mn – число слагаемых. Если среди слагаемых имеется одно число, абсолютная погрешность которого значительно превосходит погрешности остальных слагаемых, то абсолютная погрешность суммы (разности) считается равной этой наибольшей погрешности. Пример 2.1 Найти сумму приближенные чисел 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27. Решение: наибольшую абсолютную погрешность ∆=0,05 имеют два числа 345,4 и 235,2. Поэтому можно считать, что абсолютная погрешность суммы составляет 2∆=0,10. Так как количество слагаемых невелико, то округляем слагаемые до 0,01
Т.о. полный учет всех погрешностей только усложнил бы расчет, не внося существенных уточнений в результат. ^ Пример 2.2. Найти относительную погрешность функции  Используя формулы (2.1) δy =  [ δ(a+b) + 3δx + δ(1-x) ] =  Полученная оценка относительной погрешности содержит в знаменателе  . Ясно, что при x≈1 можно получить завышенную погрешность. Поэтому при организации вычислительных алгоритмов следует избегать вычитания близких чисел, при возможности алгоритм надо видоизменить во избежание потери точности на некотором этапе вычисления.^ y=f(x). Пусть a – приближенное значение аргумента х. ∆а – его абсолютная погрешность. Абсолютную погрешность функции можно считать ее приращением, которое возникает при изменении аргумента на ∆а. это приращение можно заменить дифференциалом: ∆y≈dy. Тогда для оценки абсолютной погрешности получим выражение: ∆y=| f '(x) |∆a ^ Например, оценка абсолютной погрешности функции U=f(x,y,z), приближенные значения аргументов, которой соответственно a,b,c имеет вид:  Здесь ∆a, ∆b, ∆c – абсолютные погрешности аргументов. Относительная погрешность находится по формуле: δU =  ПРИМЕР 2.3 Найти абсолютную и относительную погрешность объема шара.
^ Определить абсолютную и относительную погрешности объема параллелепипеда, имеющего стороны: a=5±0,05см b=7±0,05см с=4±0,02см Решение: V=a*b*c=140см2   ^ УРАВНЕНИЙ. Система n уравнений от n неизвестных называется линейной, если неизвестные входят в неё только в первой, например: a (2.1) 11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …………………………………… an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn Здесь aij-коэффициенты уравнений; xi- неизвестные; bi- свободные члены уравнений (i,j=1,2..n). Записывая коэффициенты этой системы aij в виде прямоугольной таблицы, а неизвестные xi и свободные члены bi в виде столбцов. A=  , x= , b = Систему уравнений (2.1) можно записать в векторно-матричном виде: Ax=b Здесь: A-матрица коэффициентов системы x- вектор-столбец неизвестных b- вектор-столбец свободных членов. Так как алгебра матриц широко используется в теории линейных уравнений, рассмотрим ее основные понятия. ^ Матрицей называется система m×n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов A=  Если m=n, то матрицу называют квадратной порядка n. Прямоугольную матрицу типа m×n обозначают в виде A=[aij]m×n. Квадратная матрица вида A=  называется диагональной и обозначается A=[a1 ,a2,…,an]. Если ai=1(i=1,2…,n), то матрица называется единичной и обозначается буквой E E=  Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Она обозначается Omn. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ее ниже главной диагонали равны нулю, и нижней треугольной, если ее элементы выше главной диагонали нулевые. Матрица называется ленточного типа, если ненулевые элементы её располагаются параллельно главной диагонали, а остальные равны нулю. Каждой квадратной матрице A соответствует определитель (детерминант), который обозначается detA или ∆. Определители для матриц второго и третьего порядка вычисляются по правилу Саррюса: ∆ = detA =  =  В этом случае определитель равен разности произведений элементов матрицы, расположенных вдоль главных диагоналей Для вычисления определителя 3-го порядка к ней справа добавляются два первых столбца элементов, а затем составляется сумму произведений элементов, расположенных вдоль диагоналей, причем произведения элементов сверху вниз берутся со знаком плюс, а снизу вверх- со знаком минус. detA =  =  ^ Если матрицы A и B одного типа, то имеет смысл операции сложения и вычитания. Матрица суммы (разности), матриц A и B есть матрица C, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц A и B. Матрицу A можно умножить на число α. В результате получается матрица B, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число α. Матрица –A=(–1)A называется противоположной матрице А. Если A-квадратичная матрица порядка n, то определитель матрицы C= αA равен: detC = detαA = αndetA Операция умножения матриц: Пусть A и B матрицы типов m×n и p×q соответственно. Если число столбцов n матрицы A равно числу строк p матрицы B(n=p), то для этих матриц существует матрица C типа m×q, являются их произведением. C =  ,где  (i=1,2,…,m, j=1,2,…,q)Т.е. элемент матрицы  – равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.В общем случае AB ≠ BA. Если матрица A типа m×n и B типа p×q, то AB – матрица типа m×q, а BA – p×n. Например: A =  ; B =  ; AB =  BA =  , т.е. AB ≠ BA;^ Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если их произведение равно единичной матрице: AA-1= A-1*A=E; Всякая матрица с отличным от нуля определителем имеет обратную матрицу. При этом: detA-1=  Минором элемента aij называется определитель (n1)-го порядка, образованный из определителя матрицы A зачеркиванием i-n строки из j-го столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров i+j четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная. Для квадратной матрицы третьего порядка после группировки слагаемых получим определитель ∆. ∆ = =  Заключенные в скобках разности произведений элементов матрицы и есть алгебраические дополнения: Aij=(-1)i+j ×Mij А в целом это есть разложение определителя по первой строке матрицы, т.е.: ∆ =  Каждый элемент обратной матрицы равен отношению алгебраического дополнения  исходной матрицы A к знамению её определителя.Таким образом, если detA = ∆ для этой же матрицы  = =^ ЗАДАНИЕ 2 ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 1) Вычислить произведение матриц A и B. 2) Найти матрицу  обратную матрице A.Задания приведены в таблице 2. ТАБЛИЦА 2
Вычислить сумму произведений одноименных элементов, аналогично рассчитывая остальные сij. С11=  С12=  С13 =  С21=  С22=  С23=  С31=  С32=  С33=  Следовательно: С=A*B=  2. Найдем обратную матрицу A-1. Матрица A=  имеет обратную, если её определитель ∆ не равен нулю. Вычислить определитель. Для этого разложим его по первой строке матрицы A ∆=  Вычислим алгебраические дополнения по формуле:  Минор  получают вычеркиванием i-й строки и j-го столбца матрицы A, и из оставшейся части матрицы рассчитывается определитель: =(-1)1+1  =(-1)1+2  =(-1)1+3 Определитель ∆=  не равен 0, значит, матрица A имеет обратную матрицу A-1.Выражение обратной матрицы:  Здесь  - алгебраическое дополнение элементов  матрицы A.Так как  уже вычислены, то вычислим остальные  : =(-1)2+1  =(-1)2+2 Подставим в выражение для  , =(-1)2+3  =(-1)3+1  =(-1)3+2 =(-1)3+3 получим обратную матрицу:  Для матрицы A и её обратной должно выполняться равенство  , где E- единичная матрица.Перемножим матрицы A и  Обратная матрица определена верно. ^ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА. Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное xn. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем xn-1 и т.д. Последним найдем x1 из первого уравнения. ^ ЗАДАНИЕ 3 РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА. Система задана в таблице 3. ТАБЛИЦА 3
ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса 2x1+x2–0,1x3+x4=2,7 0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9 0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9 x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9 РЕШЕНИЕ: ^ Приведем систему к треугольному виду. Исключим х1 из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:
Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:
Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:
Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:
Исключим х2 из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:
Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:
Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х3 из второго уравнения:
Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы. Таким образом получим треугольную систему:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=2,19;
=4,69;
=3,24;
=3,16;
=2,61;
=9,11; 
=5,56;
=3,60;
=4,243;
=6,16;
=5,91;
=6,40;
=4,12;
=3,32;
=7,61;
; 
= 
= 8,44
= 
= 21,5
= 0,041 ≈ 4%Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | В г. Уфе 7–8 ноября 2013 г пройдет Всероссийский молодежный форум «Я – молодой ученый» при финансовой поддержке Министерства образования... | | Целью мероприятия является расширение знаний о механизмах развития локальных инноваций в регионах, о состоянии, возможностях развития... |
| Кафедра уголовного процесса и криминалистики Вологодского института права и экономики Министерства юстиции Российской Федерации | | ... |
| ... | | Пример содержания и оформления отчёта о технологической и производственной практике |
| Организатором Форума является Министерство образования и науки Российской Федерации при участии Федерального агентства по делам молодежи,... | | Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования... |
| Министерство образования Республики Мордовия информирует об утверждении Примерных программ подготовки водителей транспортных средств... | | Составители: О. А. Денисова, Т. В. Захарова, В. Н. Поникарова, И. А. Бучилова, О. Л. Леханова, Л. Я. Котляр, Р. А. Самофал |