Министерство образования и науки российской федерации




НазваниеМинистерство образования и науки российской федерации
страница2/6
Дата публикации13.12.2013
Размер1.16 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х4=–1; х3=3; х2=2; х1=1.
^ 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Процесс приближения функции находит широкое распространение не только в научной и технической областях деятельности человека, но и в его повседневной деятельности. Одним из видов приближения функции является интерполяция. Поэтому каждому студенту необходимо быть знакомым с основными методами и приемами интерполирования.
^ 4.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Пусть на отрезке [a,b] заданы точки х01,…,хn и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x0)=y0, f(x1)=y1,…,f(xn)=yn.



Необходимо построить такую функцию F(x), которая принимает в точках xi (i=0,1,2,…,n) значения, равные значениям f(xi):

F(x0)=y0, F(x1)=y1, … , F(xn)=yn

Такая функция F(x) называется интерполирующей, а точки x0, x1, …, xn – узлами интерполяции.

Интерполяционную функцию F(x) используют для вычисления значений функции f(x) в промежутках между точками xi, xi+1.

Процесс вычисления f(x) в промежуточных точках между x0,xn называется интерполяцией.

Наиболее часто встречается интерполяция многочленами

Fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … +anxn

Для вывода формулы многочлена Pn(x) по заданным параметрам функции f(x) прежде всего введем понятие конечные разности функции.
^ 4.2 КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ.

Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргументов, т.е.

xi – xi-1 = h = const (i=1,2,…,n)

Величина h называется шагом.

Пусть известны значения функции в узлах xi

yi = f(xi)

Составим разности значений функции:

∆y0 = y1 – y0 = f(x0 + h) – f(x0)

∆y1 = y2 – y1 = f(x0 + 2h) – f(x0 + h)

… … … … … … … …

∆yn-1 = yn – yn-1 = f(x0 + nh) – f(x0 + (n-1)h)

Эти значения называются первыми конечными разностями (или разностями первого порядка) функции. Аналогично составляются конечные разности второго порядка:

2y0 = ∆(∆y0) = ∆y1 - ∆y0; ∆2y1 = ∆(∆y1) = ∆y2 - ∆y1

Аналогично конечной разностью k-ого порядка будет:

kyi = ∆k-1yi+1 - ∆k-1yi; i=0,1,…,n–1

Конечные разности различных порядков удобно располагать в виде горизонтальной таблицы разностей.

Используя эти формулы, построим горизонтальную таблицу конечных разностей для n=5.

x

y

∆y

2y

3y

4y

x0

x1

x2

x3

x4

y0

y1

y2

y3

y4

∆y0

∆y1

∆y2

∆y3

2y0

2y1

2y2

3y0

3y1

4y0


Пример 3. Составить горизонтальную таблицу разностей функции

y = 2x3 – 2x2 + 3x – 1

от начального значения x0 = 0, приняв шаг h = 1.

РЕШЕНИЕ: Полагая x0=0, x1=1, x2=2, x3=3, находим соответствующие значения

y0=–1, y1=2, y2=13, y3=44

Эти значения запишем в таблицу:

x

y

∆y

∆2y

∆3y

0

1

2

3

–1

2

13

44

3

11

31

8

20

12




Отсюда имеем

∆y0 = y1 – y0 = 3

∆y1 = y2 – y1 = 11

∆y2 = y3 – y2 = 31

2y0 = ∆y1 - ∆y0 = 8

2y1 = ∆y2 - ∆y1 = 20

3y0 = ∆2y1 - ∆2y0 = 12

Рассматривая символ ∆ как оператор, можно указать следующие его свойства:

∆(u + v) = ∆u + ∆v

∆(C∙u) = C∆u

m(∆nu) = ∆m+nu

0(u) = u

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции

∆y0 = y1 – y0

2y0 = ∆y1 - ∆y0 = (y2 – y1) – (y1 – y0) = y2 – 2y1 + y0

3y0 = ∆2y1 - ∆2y0 = (∆y2 - ∆y1) – (∆y1 - ∆y0) = ∆y2 – 2∆y1 + ∆y0 = (y3 – y2) – 2(y2 – y1) + (y1 – –y0) = y3 – 3y2 + 3y1 – y0

Аналогично для любого k в узле x0 можно написать

ky0 = yk – kyk-1 +  yk-2 + … + (–1)ky0 (4.1)

Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi:

kyi = yk+1 – kyk+i-1 +  yk+i-2 + … + (–1)kyi
^ 4.3 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

N(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)+ … + an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1) (4.2)

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е. N(xi) = yi (i=0,1,2,…n). Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена; учитывая, что xi – xi-1=h:

N(x0) = a0 = y0

N(x1) = a0 + a1(x1 – x0) = a0 + a1h = y1

N(x2) = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) = a0 + a1h + 2a2h2 = y2

.... … … … … … …

Отсюда найдем коэффициенты:

a0 = y0; a1 =  = ;

a2 =  =  = 

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

ak =  k = 0, 1, …, n.

Подставляя эти выражегия в формулу (4.2), получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

N(x) = y0 +  (x – x0) +  (x – x0) (x – x1) + …

+  (x – x0) (x – x1)…(x – xn-1) (4.3)

Конечные разности ∆ky0 вычисляются по формуле (4.1).

Формулу (4.3) часто записывают в другом виде. Для этого введем переменную

q =  , тогда

x = x0 + qh,  = = q – 1,

 = q – 2, … ,  = q – n + 1

Тогда формула (4.3) примет вид:

N(x) = N(x0 + qh) = y0 + q∆y0 + 2y0 + …+ ny0 (4.4)

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно может интерполировать данную функцию y=f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x0, xn] слева направо. С точки зрения повышения точности расчетов целесообразно произвести интерполяцию этой функции в интервале аргумента [x0, xn] справа налево. В этом случае

q =  , т.е. q<0

тогда интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

N(x) = N(xn + qh) = yn + q∆yn-1 + 2yn-2 + … + ny0 (4.5)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

Из первого полинома Ньютона (4.4) при n=1 имеем линейную интерполяцию

N(x) = y0 + q∆y0

При n=2 – квадратичную N(x) = y0 + q∆y0 + 2y0.

На практике используются полиномы 1, 2 и 3 степени.
ПРИМЕР 4.2

Применяя I и II формулы интерполяционного многочлена Ньютона, вычислить в точке x = 0,1 значение функции y = f(x), заданной таблицей:


x

y

∆y

2y

3y

4y

5y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,272

4,465

5,644

5,809

3,961

2,101

3,193

1,179

0,165

–1,848

–1,860

–2,014

–1,014

–2,013

–0,012

1,000

–0,999

2,001

–1,999

3,000

4,999


Процесс вычислений удобно свести в ту же таблицу. Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.

При x=0,1 имеем q =  =  = 0,5

Проводим вычисления по формуле (4.4)

f(0,1) ≈ N(0,1) = 1,272 + 0,5 ∙ 3,193 +  (–2,014) +  ∙ 1,000 + + ∙ (–1,999) +  ∙ 4,999 = 1,272 + 1,597 + +0,2518 + +0,06249 + 0,07809 + 0,1367 = 3,398.

Для сравнения проведем аналогичные вычисления по формуле (4.5). В этом случае:

q =  =  = –4,5.

Тогда

f(0,1) ≈ N(0,1) = 2,101 – 4,5 ∙ (–1,860) +  ∙ (–0,012) +  ∙2,001 + ∙ 3,000 +  ∙ 4,999 = =2,101 + 8,370 – 0,09450 + 13,13 + 7,383 – 1,231 = 3,402

Видно, что здесь происходит незначительная потеря точности.
^ ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 4

1. Вычислить значение функции с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона при значении аргумента x*.

2. Вычислить значение функции с помощью интерполяционной формулы Лагранжа при значении аргумента x*, приняв n=3. Исходные числовые данные приведены в таблице 4.

ТАБЛИЦА 4




0,1,2

3,4,5,6

7,8,9




x

y

x*

x

y

x*

x

y

x*

0,

1

5

10

15

20

25

0,0872

0,1736

0,2588

0,3420

0,4226

7

7

10

13

16

19

0,1219

0,1736

0,2250

0,2756

0,3256

8

9

13

17

21

25

0,1564

0,2250

0,2924

0,3584

0,4226

11

2,

3

6

12

18

24

30

0,1045

0,2079

0,3090

0,4067

0,4226

9

11

15

19

23

27

0,1908

0,2588

0,3256

0,3907

0,4540

12

8

13

18

23

28

0,1392

0,2250

0,3090

0,3907

0,4695

10

4,

5

10

14

18

22

26

0,1736

0,2419

0,2424

0,3584

0,4226

12

1

5

9

13

17

0,0175

0,0872

0,1564

0,2250

0,2924

3

2

7

12

17

22

0,0349

0,1219

0,2079

0,2924

0,3746

4

6,

7

3

8

13

18

23

0,0523

0,1392

0,2250

0,3090

0,3907

5

4

8

12

16

20

0,0698

0,1392

0,2079

0,2756

0,3420

6

12

17

22

27

32

0,2079

0,2924

0,3746

0,4540

0,5299

14

8,

9

14

18

22

26

30

0,2419

0,3090

0,3746

0,4384

0,5000

16

15

19

23

27

31

0,2588

0,3256

0,3907

0,4540

0,5150

17

16

20

24

28

32

0,2756

0,3420

0,4067

0,4695

0,5299

18

ПРИМЕР 1.

С помощью интерполяционной формулы Ньютона вычислить в точке x*=19 значение функции, заданной в таблице 4.

РЕШЕНИЕ. Составим таблицу конечных разностей.

i

x

y

∆y

2y

3y

4y

0

1

2

3

4

17

23

29

35

41

0,2924

0,3907

0,4848

0,5736

0,6541

0,0983

0,0941

0,0888

0,0805

–0,0042

–0,0095

–0,0083

–0,0053

0,0012

0,0065


∆y0 = y1 – y0 = 0,3907 – 0,2924 = 0,0983

∆y1 = y2 – y1 = 0,4848 – 0,3907 = 0,0941

∆2y2 = ∆y1 - ∆y0 = 0,0941 – 0,0983 = –0,0042

и так далее.

По первой интерполяционной формуле Ньютона (4.4), ограничиваясь конечными разностями четвертого порядка, имеем:

N(x) = y0 + q∆y0 + 2y0 + 2y0 +3y0 + +3y0

Т.к. x*=19, h=6 и x0=0,2924, то q=  =  = 0,17

Получим:

N(0,1) = 0,2924 + 0,17 ∙ 0,0983 +  ∙ (–0,0042) + ∙(–0,0053) +  ∙ 0,005 = 0,309164.

Таким образом, при x*=19 значение функции N(x*) = 0,309164.

^ 4.4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА

ЛАГРАНЖА.

В случае непостоянного шага интерполирования

xi – xi-1 = hi ≠ const при i=1,2,…,n

используется так называемая интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 значений аргумента x0, x1, x2, …, xn и для функции y=f(x) известны соответствующие значения

f(x0)=y0, f(x1)=y1, … , f(xn)=yn

Строится поленом Ln(x), имеющий в заданных узлах x0, x1, ..., xn те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

Ln(xi) = yi (i=0, 1, …, n)

Такой поленом имеет вид:





Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.
^ 4.5 ЛИНЕЙНАЯ И КВАДРАТИЧНАЯ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

При n=1 мы имеем две точки – (x0,x1), и получим из формулы (4.6) уравнение прямой y=L1(x), проходящей через эти точки

y=L1(x)= y0 +  y1

При x0=a, x1=b получим y = y0 +  y1

При n=2 получим уравнение параболы, проходящей через 3 точки x0=a, x1=b, x2=c

L2(x) =  y0 +  y1 + y2 = y0 +  y1  y2

Пример 1 Для функции y=sinπx построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы x0=0, x1=, x2=.

Решение Вычислим соответствующие значения функции y0=0, y1= sin = , y2= sin =1

Применяя формулу (4.6), получим:

L2(x) =  y0 +  y1 +  y2 = ∙ 0 +  +  ∙ 1 =  x – 3x2
Пример 2 С помощью интерполяционной формулы Лагранжа вычислить значение функции при значении аргумента x*=323.5, приняв n=3. В соответствии с вариантом выбрать исходные данные из таблицы 4 индивидуального задания.

i

x

y

0

321,0

2,50651

1

322,8

2,50893

2

324,2

2,51081

3

325,0

2,51188

Решение Подставим значения x*, xi и yi в интерполяционную формулу Лагранжа (4.6)

L(x*) = y0  + y1 + y2 + 

Получим:

L(323,5) = 2,50651 ∙  + 2,50893 ∙  + 2,51081 ∙  +2,51188∙  = –0,07996 + 1,18794 + 1,83897 – 0,43708 =2,50987

Таким образом, в точке x*=323,5 функция f(x*)=2,50987.
^ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКИХ

ФОРМУЛ.

5.1 ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ.

Пусть при обработке экспериментальных данных получена таблица данных


x0

x1

x2



xn

y0

y1

y2



yn

Необходимо построить зависимость y=f(x), приближенно отображающую эти данные.

Вид эмпирической формулы может быть произвольным. В этом случае предпочтение отдается наиболее простым формулам.

Более строгий выбор эмпирической формулы производится на основе анализа i-ых конечных разностей по данным таблицы. Если расстояние между узлами ∆xi = xi – xi-1 = const, то:

1) при условии ∆yi≈const следует в качестве эмпирической формулы использовать линейную зависимость

y = ax + b;

2) при ∆2yi≈const – квадратичную

y = ax2 + bx + c;

3) при ∆3yi≈const – кубическую

y = ax3 + bx2 + cx + d;

и т.д.

рассмотрим несколько методов определения параметров эмпирических формул.
^ 5.2 МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК.

Пусть получена некоторая таблица данных y=f(x). На плоскости XOY нанесем эти точки



(*), а затем проведем кривую φ(x), примыкающую к этим точкам, и выберем на этой линии точки (◦). Число выбранных точек должно быть равным количеству исходных параметров. Координаты этих точек измеряются и используются для вычисления коэффициентов эмпирической зависимости.



Если используется эмпирическая зависимость

φ(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

то для вычисления n+1 коэффициентов ai нужно задать n+1 точку. В результате получим систему n+1 линейных уравнений

a0+a1x0+a2+…+an =y0

a0+a1x1+a2+…+an=y1

… … … …

a0+a1xn+a2 +…+an =yn

т.к. значения xi и yi (i=0,1,2,…,n) известны.
^ 5.3 МЕТОД СРЕДНИХ.

Этот метод заключается в том, что параметры ai эмпирической зависимости

y = φ(xi;a0,a1,…,an)

определяются из условия равенства нулю суммы отклонений ее от табличных значений y во всех точках xi



Поскольку из уравнения (5.1) нельзя однозначно определить n+1 коэффициент эмпирической формулы φ(x,ai), то уравнение (5.1) путем группировки отклонений εi, разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например:



Решая систему (5.2), находим неизвестные параметры ai.

Пример. Рассмотрим торможение движущегося тела.

t,с

0

5

10

15

20

25

S,м

0

106

182

234

261

275

Считая движение равнозамедленным, найти приближенные значения скорости V0 и ускорения a.

Решение. Согласно физическому смыслу уравнение движения имеет вид следующей эмпирической формулы:

x = At2 +Bt + C

Из таблицы видно, что при t=0 x=0, следовательно, C=0, тогда:

x = At2 + Bt

Воспользуемся методом средних и запишем уравнения для всех точек, кроме начальной:

ε1+ ε2+ ε3+ ε4+ ε5=0

Путем расщепления этого уравнения запишем систему двух уравнений:



Используя выражение x = At2 + Bt и табличные данные, получим:





A = –0,30; B = 39,07

Формула, дающая приближенную связь между пройденным расстоянием и времени имеет вид:

x = –0,30t2 + 39,07t

Сравнивая это уравнение с уравнением

x =  + V0t,

получим:

a = 2A = –0,60 , V0 = 39,07 .
^ 5.4 МЕТОД СРЕДНИХ.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x0, x1, …, xn



Поскольку здесь параметры эмпирической формулы a0, a1, …, am выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим параметрам:

 = 0;  = 0; …;  = 0

Это и есть система уравнений для определения коэффициентов a0, a1, a2, …

Рассмотрим применение этого метода на примере эмпирической функции:

φ(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm

Тогда:







…………………………………………………………….



Приравниваем эти выражения нулю и, собирая коэффициенты a0, a1, …, am, получаем следующую систему:



Решая эту систему, получим искомые параметры эмпирической формулы. Систему можно записать в более компактном виде.

Введём обозначения:



Получим:

b00a0 + b01a1 + … + b0mam = c0

b10a0 + b11a1 + … +b1ma1 = c1

...................................................

bm0a0 + bm1a1 + … + bmmam = cm

ПРИМЕР.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Министерство образования и науки российской федерации iconРоссийской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан
В г. Уфе 7–8 ноября 2013 г пройдет Всероссийский молодежный форум «Я – молодой ученый» при финансовой поддержке Министерства образования...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации министерство образования омской области
Целью мероприятия является расширение знаний о механизмах развития локальных инноваций в регионах, о состоянии, возможностях развития...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки Российской Федерации гоу впо «Сыктывкарский...
Кафедра уголовного процесса и криминалистики Вологодского института права и экономики Министерства юстиции Российской Федерации

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для студента к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для преподавателя к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации
Пример содержания и оформления отчёта о технологической и производственной практике

Министерство образования и науки российской федерации iconПрезентация является обязательной формой представления проекта
Организатором Форума является Министерство образования и науки Российской Федерации при участии Федерального агентства по делам молодежи,...

Министерство образования и науки российской федерации iconКурсовая работа по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования...

Министерство образования и науки российской федерации icon11442 «Водитель автомобиля»
Министерство образования Республики Мордовия информирует об утверждении Примерных программ подготовки водителей транспортных средств...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации дошкольная логопсихология
Составители: О. А. Денисова, Т. В. Захарова, В. Н. Поникарова, И. А. Бучилова, О. Л. Леханова, Л. Я. Котляр, Р. А. Самофал

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов