Министерство образования и науки российской федерации




НазваниеМинистерство образования и науки российской федерации
страница4/6
Дата публикации13.12.2013
Размер1.16 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6
 +  = 1∙1,5 + 2∙1,2 + 3∙1,0 + 4∙0,8 + 5∙0,7 = 1,5 + 2,4 + 3,0 + 3,2 + 3,5 = 13,6

С2 =  +  +  +  +  = 12∙1,5 + 22∙1,2 + 32∙1,0 + 42∙0,8 + 52∙0,7 = 1,5 + 4,8 + +9 + 12,8 + 17,5 = 45,6

Подставим полученные числа в систему.

0 + 15а1 + 55а2 = 5,2

15а0 + 55а1 + 225а2 = 13,6

55а0 + 225а1 + 979а2 = 45,6

Решим эту систему методом Гаусса.

^ Прямой ход. Переводим систему к треугольному виду. Исключим а0 из второго и третьего уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 5:

а0+3а1+11а2=1,04

Затем это уравнение умножим на 15 и результат вычтем из второго, затем умножим на 55 и вычтем из третьего. Получим систему:

а0 + 3а1 + 11а2 = 1,04

+10а1+ 60а2 = –2

60а1+ 374а2 = –11,6

Затем умножаем второе уравнение на 6 и вычтем из третьего уравнения. В итоге избавляемся в третьем уравнении от а1. Получим систему:

а0 + 3а1 + 11а2 = 1,04

10а1 + 60а2 = –2

14а2 = 0,4

В результате получены а0 = 1,84;

а1 = –0,37

а2 = 0,03

Запишем функцию:

y = 1,84 – 0,37х + 0,03х2

Значение функции в точке Х*=2,5

у(2,5) = 1,84 – 0,37 ∙ (2,5) + 0,03 ∙ (2,5)2 = 1,1
^ 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В случае задания функции в виде таблицы, для вычисления ее производной пользуются ее конечно-разностным представлением.

Так, первая производная функции y = f(x) есть

, ∆y = f(x+x) – f(x)

∆x – приращение x,

а так как при табличном задании функции не стремится к нулю, то в качестве производной функции принимается выражение

.

Такое представление производной называется её конечно-разностной аппроксимацией , поскольку ∆x и ∆y имеют конечные значения.

В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаются разные формулы для вычисления производной в одной и тоже точке:

– с помощью левых разностей:

 = 

– с помощью правых разностей:

 = 

– с помощью центральных разностей:

 = 

Можно найти такие выражения для старших производных:



Для более точной аппроксимации производной нужно использовать значение функции во многих точках.
^ 6.2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ

ПОЛИНОМОВ.

Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h=xi-xi-1 может быть аппроксимирована первым интерполяционным многочленом Ньютона(4.4)

y ≈ y0 + q∆y0 +  + … + 

где q = .

Дифференцируя этот многочлен по переменной х с учётом правила дифференцирования сложной функции



можно получить формулы для вычисления производных любого порядка:



Вторая производная будет иметь вид:

, 

Число слагаемых в этих формулах зависит от количества точек, используемых для вычисления производных.

Пример: вычислить в точке x=0,1 первую и вторую производные функции, заданной таблицей:

x

y

∆y

∆2y

∆3y

∆4y

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1,2833

1,8107

2,3606

2,9577

3,5969

0,5274

0,5599

0,5971

0,6392

0,0325

0,0372

0,0421

0,0047

0,0049

0,0002




Здесь h=0,1; q =  = 1.



Заполняя таблицу конечными разностями и используя вышеполученные формулы, находим:





^ 6.3 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Пусть дана непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] который мы разобьём на n отрезков. Требуется вычислить определённый интеграл на этом отрезке от f(x). Геометрически это означает, что необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, которая равна



определённому интегралу.

Определённым интегралом от f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы, при которой длина элементарных отрезков стремится к нулю, т.е.



Однако на практике вычисления определённого интеграла используются нечасто, т.к. не каждая функция f(x) имеет первообразную и часто f(x) задается в табличном виде. Поэтому применяются методы численного интегрирования.

1) МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

Он использует непосредственную замену определённого интеграла интегральной суммой, т.е.



В развёрнутом виде эти формулы записываются в следующем виде. Учтем, что ∆x= xi+1 – xi = h.





В первой формуле за высоту прямоугольников применяется левая сторона криволинейной трапеции, а во второй – правая сторона. Если в формуле прямоугольников за высоту принимать значение функции в серединах элементарных отрезков, то формула получается более точной. Этот метод ещё называется методом средних.

2) МЕТОД ТРАПЕЦИЙ.



В этом методе также разбивают отрезок [a,b] на n равных частей с шагом



Затем точки ординат y0, y1,…, yn соединяют хордами. В результате непрерывная кривая f(x) заменяется

ломанной линией и определённый интеграл  заменяется суммой площадей трапеций. Площадь отдельной трапеции:



Определённый интеграл будет равен:



3) МЕТОД СИМПСОНА.

Более точным, нежели рассмотренные ранее, является метод Симпсона.



Разобьём участок [a,b] на чётное число участков. Рассмотрим пару соседних участков x0x1 и x1x2. Проведём через 3 точки кривой f(x) параболу, управление которой

y = Ax2 + Bx + C.

Заменив площадь заданной криволинейной трапеции на участке [x0,x2] площадью ограниченной трапеции к

приближённому равенству:





Вынося за скобки (x2 – x0) и приводя к общему знаменателю, получим:



Неизвестные A,B,C находятся из условия, что при значениях x, равных x0, x1, x2, функция f(x) принимает значения y0, y1, y2. Заметим, что x1 = , запишем эти условия в виде:


(6.2)



Умножая второе равенство на четыре и складывая все три равенства (6.2), находим:

y0 + 4y1 + y2 = A + B + 6C = 2A + 3B(x0+x2) + 6C, (6.3)

а это совпадает с квадратной скобкой формулы (6.1).

Подставив (6.3) в (6.1) и заметив, что х2 – х0 = 2h, получим



Ясно, что для каждой следующей пары участков получится такая же формула.



Суммируя равенство вида (6.4) и (6.5) по всем участкам и определенным образом сгруппировав элементы, получим:



Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол. В ней все ординаты с нечетными номерами умножаются на четыре, а все ординаты с четными номерами (кроме крайних) – на два.
^ 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Корнем (решением) нелинейного уравнения f(x) называется такое x=ξ, при котором f(ξ)=0.

Нелинейные уравнения бывают алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения – это уравнения, содержащие алгебраические функции.

Уравнения, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений бывают прямыми и итерационными, т.е. методы последовательных приближений.

Приближенное нахождение изолированных корней обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. определение промежутков [a,b], содержащих отдельные корни;

2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение до заданной точности.

^ 7.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

При отделении корней пользуются теоремой:

Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a,b], то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0. Корень будет единственным, если первая производная f’(x) существует и сохраняет



постоянный знак на интервале [a,b].

Отделение корней начинаем с определения знаков f(x). Чтобы убедиться в существовании единственного корня на отрезке, нужно провести процесс половинного деления, определяя знаки f(x) в точках деления.

Пример: Определить корни уравнения f(x)=x3 – 6x + 2 = 0.

x

f(x)




x

f(x)

–∞

–3

–1

0





+

+

1

3

+∞



+

+



Это уравнение имеет 3 действительных корня. Из таблицы знаков функции видно, что функция имеет три корня в интервалах (–3, –1), (0,1), (1,3).

^ 7.2 ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖННОГО ЗНАЧЕНИЯ

КОРНЯ.

Если ξ-точное значение корня уравнения 
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Министерство образования и науки российской федерации iconРоссийской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан
В г. Уфе 7–8 ноября 2013 г пройдет Всероссийский молодежный форум «Я – молодой ученый» при финансовой поддержке Министерства образования...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации министерство образования омской области
Целью мероприятия является расширение знаний о механизмах развития локальных инноваций в регионах, о состоянии, возможностях развития...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки Российской Федерации гоу впо «Сыктывкарский...
Кафедра уголовного процесса и криминалистики Вологодского института права и экономики Министерства юстиции Российской Федерации

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для студента к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для преподавателя к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации
Пример содержания и оформления отчёта о технологической и производственной практике

Министерство образования и науки российской федерации iconПрезентация является обязательной формой представления проекта
Организатором Форума является Министерство образования и науки Российской Федерации при участии Федерального агентства по делам молодежи,...

Министерство образования и науки российской федерации iconКурсовая работа по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования...

Министерство образования и науки российской федерации icon11442 «Водитель автомобиля»
Министерство образования Республики Мордовия информирует об утверждении Примерных программ подготовки водителей транспортных средств...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации дошкольная логопсихология
Составители: О. А. Денисова, Т. В. Захарова, В. Н. Поникарова, И. А. Бучилова, О. Л. Леханова, Л. Я. Котляр, Р. А. Самофал

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов