Министерство образования и науки российской федерации




НазваниеМинистерство образования и науки российской федерации
страница5/6
Дата публикации13.12.2013
Размер1.16 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6
 , -его приближенное значение на отрезке [a,b], причем (-наименьшее значение функции в данном интервале), то погрешность приближенного значения корня будет:



Пример: Приближенным корнем уравнения  является . Оценить абсолютную погрешность этого корня.

Решение: Имеем , то точный корень ξ содержится в интервале (1,22;1,23). Производная  монотонно возрастает, поэтому её наименьшем значением в данном интервале является:


Отсюда .

^ 7.3 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

В отдельных случаях приближенное решение уравнения можно найти графическим методом. Пусть требуется найти корни уравнения . Заменим это уравнение равносильным:

 ;

где  - более простые функции. Построим графики этих функций, получим корни уравнения , как координаты x точек пересечения ;

ПРИМЕР: Решить уравнение .



Заменим его равносильным уравнением: , где . Построив их графики, найдем точку пересечения , которая и является решением исходного уравнения.

^ 7.4 МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

(МЕТОД БИССЕКЦИИ).

Пусть требуется найти корень уравнения  на отрезке [a,b]. Отрезок [a,b] либо задан заранее, либо получен методом отделения корней. Метод деления отрезка пополам проиллюстрирован на рисунке.



Пусть , в качестве начального приближения корня примем . Поскольку , то рассматриваем отрезок []. Следующее приближение , при этом отрезок [] отбрасывается таким образом. Аналогично находим другие приближения , и т.д. до выполнения условия .


Итерационный процесс можно завершить тогда, когда значение функции после к-ой итерации станет меньшим по модулю заданной , т.е. .

^ 7.5 МЕТОД ХОРД

(ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ).



Отрезок [a,b] либо задан заранее, либо получен методом отделения корней. Пусть . Соединим хордой точки A и B, из подобия ∆ABC и ∆Ax1D:

,

x1 = a – .

Это будет первым приближением к корню уравнения . Сравнивая знаки , видим, что корень находится на отрезке [x,b]. Следующее приближение к корню x2 получаем в точке пересечения с осью x ходы, соединяющей . Её координаты определяются аналогично, x1 по формуле:



Последующие итерации выполняются по формуле:



Итерации продолжаются до тех пор, пока значение  не станет меньше наперед заданного числа (погрешность расчета) .



Если , то формула для расчета корня  имеет вид , погрешность приближенного решения можно оценить по формулам

, где ;

,

где - точное значение корня.

^ 7.6 МЕТОД НЬЮТОНА

(МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ).

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что вместо хорды проводится касательная кривой y=f(x) в точке c0. При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень, а достаточно лишь найти начальное приближение корня. В точке c0 проводим касательную к кривой f(x). Точка пересечения её с осью дает первое приближение



корня. Затем проводим перпендикуляр к оси x в точке x1 и получаем точку c1. Далее снова проводим касательную к f(x) в точке c1. Ее пересечение с осью x дает следующее приближение x2 и т.д., пока не будет выполнено условие , где -погрешность расчета.


Расчетную формулу можно получить из геометрических соображений из треугольника x1bc0 имеем:

а для последующих точек .

Оценка погрешности решения производится по формулам:

2

Здесь m1=min f’(x), а M1=max f’(x) на отрезке [a,b]. Это самый эффективный, быстро сходящийся метод.
^ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x)

F(x,y,y1,…,y(n)) = 0, где x-независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая после её подстановки в уравнение превращает его в торжество.

Некоторые методы решения известны по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка ( с разделяющимися переменных однородных, линейных и др) удается получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.

В большинстве случаев для решения дифференциальных уравнений используются приближенные методы, которые можно разделить на две группы:

1)аналитические методы, дающие решение в виде аналитического выражения;

2)численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Рассмотрим перечисленные методы в виде следующих примеров.

^ 8.1 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

Рассмотрим уравнение:



с начальными условиями , где – заданные числа.

Предположим, что искомое решение y=f(x) может быть решено в ряд Тейлора по степеням разности (x-x0):

2n+….

Начальные условия (8.2) дают нам значения y(k)(x0) при k=0,1,2,...,(n-1). Значения y(n)(x0) найдем из уравнения (8.1), подставляя (x-x0) и используя начальные условия (8.2):

y(n)(x0) = f(x0,y0,y'0,...,y0(n-1))

Значения y(n+1)(x0), y(n+2)(x0)... последовательно определяются дифференцированием уравнение (8.1) и подстановкой x=x0, y(k)(x0)=y0k (k – 0,1,2).

ПРИМЕР: Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения y=y(x) уравнения y''+0,1(y')2+(1+0,1x)y=0 с начальными условиями y(0)=1; y'(0)=2.

РЕШЕНИЕ: Решение уравнения ищем в виде ряда:

y(x)=y(0)+y'(0)x/1!+y''(0)x2/2!+...+y(n)(0)xn/n!...

Из начальных условий имеем y(0)=1, y'(0)=2. Для определения y''(0) разрешим данное уравнение относительно y'':

y''(0)= – 0,1(y')2 – (1+0,1x)y (8.3)

Используя начальные условия, получим

y''(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4

Дифференцируя по x левую и правую части уравнения (8.3)

y'''= – 0,2y'y'' – 0,1(xy'+y) – y',

y(4)= – 0,2(y'y'''+y''2) – 0,1(xy''+2y') – y'',

y(5)= – 0,2(y'y(4)+3y''y''') – 0,1(xy'''+3y'') – y''',

y(6)= – 0,2(y'y(5)+4y''y(4)+3y'''2) – 0,1(xy(4)+4y''' – y(4))

Подставляя начальные условия и значение y''(0), находим y'''(0)= – 1,54;

y(4)(0)= – 1,224; y(5) (0)=0,1768; y(6)(0)= – 0,7308. Таким образом, искомое приближенное решение запишется в виде: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x2 – 0,2567x3 + 0,051x4 + 0,00147x5 – 0,00101x6.

^ 8.2 МЕТОД ЭЙЛЕРА

Простейшими из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который основан на замене искомой функции многочленом первой степени, т.е. линейной экстраполяцией. Речь идет о нахождении значений функции в соседних точках аргумента x не между ними.

Выберем шаг h малым, чтобы для всех x между x0 и x1=x0+h значение функции y мало отличалось от линейной функции. Тогда на указанном интервале y = y0 + (x – x0)y' = y0 + (x –



– x0)f'(x0y0), где y'0 = f'(x0,y0) – значение производной в точке х=х0 (см. Рисунок)

Таким образом, кривая на этом участке заменяется отрезком прямой (касательной к кривой в начале участка).

Для точки x1=x0+h, y1=y0+hy'0.

Для точки x2=x1+h, y2=y1+hy'0.

Продолжая таким же способом определять значения функции, убеждаемся, что метод Эйлера представляется в виде последовательного выполнения формул:

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Министерство образования и науки российской федерации iconРоссийской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан
В г. Уфе 7–8 ноября 2013 г пройдет Всероссийский молодежный форум «Я – молодой ученый» при финансовой поддержке Министерства образования...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации министерство образования омской области
Целью мероприятия является расширение знаний о механизмах развития локальных инноваций в регионах, о состоянии, возможностях развития...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки Российской Федерации гоу впо «Сыктывкарский...
Кафедра уголовного процесса и криминалистики Вологодского института права и экономики Министерства юстиции Российской Федерации

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для студента к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для преподавателя к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации
Пример содержания и оформления отчёта о технологической и производственной практике

Министерство образования и науки российской федерации iconПрезентация является обязательной формой представления проекта
Организатором Форума является Министерство образования и науки Российской Федерации при участии Федерального агентства по делам молодежи,...

Министерство образования и науки российской федерации iconКурсовая работа по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования...

Министерство образования и науки российской федерации icon11442 «Водитель автомобиля»
Министерство образования Республики Мордовия информирует об утверждении Примерных программ подготовки водителей транспортных средств...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации дошкольная логопсихология
Составители: О. А. Денисова, Т. В. Захарова, В. Н. Поникарова, И. А. Бучилова, О. Л. Леханова, Л. Я. Котляр, Р. А. Самофал

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов