Министерство образования и науки российской федерации




НазваниеМинистерство образования и науки российской федерации
страница6/6
Дата публикации13.12.2013
Размер1.16 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6

(8.4)
yk = y'kh

yk+1 = yk + ∆yk

ПРИМЕР

Решим методом Эйлера уравнения y' = x – y с начальным условием х0=0, у0=0 на отрезке [0,1] с шагом h=0,1.

Вычисления приведены в таблице.

Первая строка в столбцах 1 и 2 заполнена по начальным данным. Затем вычисляется у' по заданному уравнению (в столбце 4), затем ∆y = y'h – в столбце (4).

Столбец (5) содержит таблицу значений точного решения заданного уравнения.

х

у

∆y

у

уточн

0

0

0

0

0

0.1

0

0.01

0.10

0.00

0.2

0.01

0.02

0.19

0.02

0.3

0.03

0.03

0.27

0.04

0.4

0.06

0.03

0.34

0.07

0.5

0.09

0.04

0.41

0.11

0.6

0.13

0.05

0.47

0.15

0.7

0.18

0.05

0.52

0.20

0.8

0.23

0.06

0.57

0.25

0.9

0.29

0.06

0.61

0.31

1

0.35







0.37



Из таблицы видно что при х=1 относительная ошибка метода Эйлера составляет

δ=0,37 — 0,35/0,37*100%≈5,4%



^ УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА

При том же объеме вычислительной работы дает более высокую точность.

Ранее мы считали подынтегральную функцию постоянной, равной её значению f(xk,yk) на левом конце участка. Более точное значение получится если полагать f(x,y(x)) равной значению в центре участка. Для этого надо брать двойной участок (xk-1,xk+1), заменив формулу

yk+1=yk+∆yk на yk+1=yk-1+2hy'k (8.5)

Эта формула и выражает уточненный метод Эйлера. Но в этом случае надо придерживать следующей последовательности действий:

х

у

∆y

у'

уточн

0

0

0

0

0

0.05

0

0.005

0.050

0.001

0.1

0.005

0.10

0.095

0.005

х

у

∆y

у'

уточн

0.2

0.019

0.036

0.181

0.019

0.3

0.041

0.052

0.259

0.041

0.4

0.071

0.066

0.329

0.070

0.5

0.107

0.079

0.393

0.107

0.6

0.150

0.090

0.450

0.149

0.7

0.197

0.101

0.503

0.197

0.8

0.251

0.110

0.549

0.249

0.9

0.307

0.119

0.543

0.307

1.0

0.37







0.368



y1/2=y0+h/2y'

y1=y0+hy'

y2=y0+2hy'

Далее расчёты вести по формуле (8.5).

ПРИМЕР Для сравнения рассмотрим то же уравнение y' = x – y с начальными условиями x0=0, y0=0. Уточненный метод, как видно из таблицы дает более высокую точность относительная погрешность при х=1, у=0,370, а уточн 0,368.



^ 9.ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.

9.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Постановка задачи.

При вычислении с помощью ЭВМ значений функции, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана формула.

Предварительное вычисление всех нужных степеней аргумента х2, х3,... обычно не выгодно, так как требует довольно большого числа операций. При вычислении значений многочлена n-ой степени для получения степеней до хn требуется n–1 умножений. Кроме этого нужно ещё n умножений на коэффициенты, т.е. всего 2n–1 умножений к n сложений. Меньшего количества действий – n умножений и n сложений – требует вычисление многочлена по так называемой схеме Горнера, с которой мы сейчас познакомимся.

^ 9.2 СХЕМА ГОРНЕРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ЗНАЧЕНИЙ ПОЛИНОМА.

Из курса алгебры известна теорема Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x-α равен значению многочлена при x=α, т.е. f(α).

Обозначив частное от деления полинома n-ой степени f(x) на x-α через φ(x), а остаток через bn, можно записать.

f(x)= (x-α)φ(x)+ bn, где bn=f(α) (9.1)

Если f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an; и φ(x)=b0xn-1+...+bn-2x+bn-1, то мы имеем тождество:

a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an = (x-α) (b0xn-1+...+bn-2x+bn-1)+bn (9.2)

Раскрывая скобки в правой части тождества (9.2) и сравнивая коэффициенты в левой и правой частях тождества, находим:

a0=b0

a
(9.3)
1=b1– αb0

a2=b2-αb1

. . . . . . . . . . . . .

an-1=bn-1-αbn-2

an=bn-αbn-1

Равенство (9.3) перепишем в виде:

b0=a0

b
(9.4)
1=a1+αb0

b2=a2+αb1

. . . . . . . . . . . . . .

bn-1=an-1+αbn-2

bn=an+αbn-1

С помощью полученных выражений можно вычислить последовательно все коэффициенты частного и остаток bn, равный f(α). Эта схема вычисления f(α) и называется схемой Горнера.

При ручном счёте (при нахождении одного значения многочлена) вычисления записывают с помощью схемы.




a0

a1

a2

...

an-1

an

α

b0

b1

b2

...

bn-1

bn

Числа в нижней строке вычисляются последовательно слева направо с использованием равенств (9.4) .

ПРИМЕР: Вычислить частное и остаток от деления многочлена x4+3x3+2x2+x+3, на (x-1,3). Пользуясь приведённой схемой, находим:




1

–3

2

1

3

1,3

1

–3 +1*1,3=–1,7

2+(–1,7)*1,3= –0,21

1+(–0,21)*1,3=0,727

3+0,727*1,3=3,9451

Итак, частное есть многочлен x3-1,7x2-0,21x+0,727, а остаток, равный значению многочлена в точке х=1,3 есть 3,9451.

Таким образом, формулы (9.4) позволяют, не производя деления, определять коэффициенты частного φ(x), а также остаток bn = f(α). Практически вычисления осуществляются по следующей схеме, называемой схемой Горнера.

+

a0 a1 a2 … an

α

b0α b1α … bn-1α

b0 b1 b2 … bn =f(α)

ПРИМЕР вычислить значение полинома:

P(x) = 3x3 + 2x2 – 5x +7 при х = 3.

РЕШЕНИЕ Составляем схему Горнера:

+

3 2 –5 7

3

9 33 84

3 11 28 91=f(3)

Итак, частное есть φ(x) = 3x2 + 11x + 28 и остаток равный значению полинома в точке x=3 есть 91.

Если в формулах (9.4) подставить каждую предыдущую формулу в последующую, то получатся такие равенства:

b1 = a1 + αa0

b2 = a2 + α(a1 + αa0)

b3 = a3 + α(a2 + α(a1 + αa0))

……………………………...

Дойдя до последней формулы и переписав правую часть в обратном порядке, получим:

bn = f(α) = ( … ((a0α + a1)α + a2)α + … + an-1)α + an

Таким образом, для вычисления многочлена

f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

его следует представить в виде:

f(x) = ( … ((a0x + a1)x + a2)x + … + an-1)x + an.
ПРИМЕР. Составить таблицу значений многочлена x4 – 3x3 + 2x2 + x +3 для значений x от 1 до 2 с шагом 0,2.
РЕШЕНИЕ. Представим заданный многочлен в виде:

(((x – 3)x + 2)x + 1)x + 3

Расписку для выполнения вычислений вручную осуществим в виде таблицы:


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

x

(1) – 3

(2) ∙ (1) + 2

(3) ∙ (1) + 1

(4) ∙ (1) + 3

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

– 2,0

–1,8

–1,6

–1,4

–1,2

–1,0

0,00

–0,16

–0,24

–0,24

–0,16

0

1,000

0,808

0,664

0,616

0,712

1,000

4,0000

3,9696

3,9296

3,9856

4,2816

5,0000


^ 9.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ

ПОЛИНОМА ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА.

Положим, что при x = β (β=0) все коэффициенты bi в схеме Горнера неотрицательны, причем первый коэффициент положителен, т.е.

b0 = a0 > 0 и bi>0 (i=1,2,…,n)

Тогда можно утверждать, что все действительных корней xk полинома f(x) расположены не правее β, т.е. xk ≤ β (см. рис.)



В самом деле, так как

f(x) = (b0xn-1 + … + bn-1)(x – β) + bn,

то при любом x>β будем иметь f(x)>0. Таким образом, имеем верхнюю оценку для действительных корней xk полинома.

Для получения нижней оценки корней xk составляем полином

(–1)nf(–x) = a0xn – a1xn-1 + … + (–1)nan

Для этого нового полинома находим такое число x = α (α>0)? Чтобы все коэффициенты в схеме Горнера были неотрицательны. Тогда согласно предыдущих рассуждений для действительных корней полинома (–1)nf(–x), равных (–xk), имеем неравенство –xk ≤ α, т.е. xk ≥ –α – это и будет нижняя граница (–α) действительных корней полинома f(x).

Отсюда следует, что все действительные корни полинома f(x) расположены на отрезке [–α, β].

ПРИМЕР. Найти границы действительных корней полинома

F(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + 4x – 1

РЕШЕНИЕ. Подсчитаем значение полинома f(x), например, при x = 2. Пользуясь схемой Горнера, получим:

+

1 – 2 + 3 + 4 – 1

2

2 0 6 20

1 0 3 10 19 =f(2)

Так как все коэффициенты bi≥0, то действительные корни xk полинома f(x) удовлетворяют неравенству xk < 2 – это и есть верхняя граница.

Для оцени нижней границы составим новый полином:

f’(x) = (–1)4 f(–x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 4x – 1

Подсчитаем значение полинома f’(x)? например, при x = 1:

+

1 2 3 –4 – 1

1

1 3 6 2

1 3 6 2 1 =f’(1)

Все коэффициенты bi>0, значит, –xk < 1, т.е. xk > –1.

Итак, все действительные корни данного полинома находятся внутри отрезка [ –1 ; 2 ].

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Министерство образования и науки российской федерации iconРоссийской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан
В г. Уфе 7–8 ноября 2013 г пройдет Всероссийский молодежный форум «Я – молодой ученый» при финансовой поддержке Министерства образования...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации министерство образования омской области
Целью мероприятия является расширение знаний о механизмах развития локальных инноваций в регионах, о состоянии, возможностях развития...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки Российской Федерации гоу впо «Сыктывкарский...
Кафедра уголовного процесса и криминалистики Вологодского института права и экономики Министерства юстиции Российской Федерации

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для студента к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМетодические указания для преподавателя к практическому занятию по предмету
...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации
Пример содержания и оформления отчёта о технологической и производственной практике

Министерство образования и науки российской федерации iconПрезентация является обязательной формой представления проекта
Организатором Форума является Министерство образования и науки Российской Федерации при участии Федерального агентства по делам молодежи,...

Министерство образования и науки российской федерации iconКурсовая работа по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования...

Министерство образования и науки российской федерации icon11442 «Водитель автомобиля»
Министерство образования Республики Мордовия информирует об утверждении Примерных программ подготовки водителей транспортных средств...

Министерство образования и науки российской федерации iconМинистерство образования и науки российской федерации дошкольная логопсихология
Составители: О. А. Денисова, Т. В. Захарова, В. Н. Поникарова, И. А. Бучилова, О. Л. Леханова, Л. Я. Котляр, Р. А. Самофал

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов