Скачать 343.8 Kb.
|
Здесь мы ограничимся далеко не всей теорией численных методов, а рассмотрим наиболее часто встречающиеся задачи и методы их решения:
1. Решение нелинейных уравнений Любое нелинейное уравнение можно свести к виду ![]() Существует несколько методов решения этого уравнения, и применение того или иного метода определяется видом функции ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие: Если ![]() ![]() ![]() Это утверждение вытекает из того, что функция ![]() ![]() Рис.2 ^ ) Основная идея метода 1/2 деления основывается на приведенном выше утверждении. Отрезок, содержащий корень ![]() ![]() rереаt с:= (а+b)/2; If f(c)*f (a) <0 then b: =c else a: =c Until (b-а)/2 < eps Здесь а,b,с,eps - переменные типа геаl; а - левый, b - правый концы начального отрезка, eps - точность (например, ерs=0.00001). 1.2. Метод Ньютона (метод касательных) Метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных задач. Выведем расчетную формулу метода решения уравнения (1.1) из простых геометрических соображений. Соответствующая иллюстрация приведена на рис. 3. ![]() Рис.3 Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда, полагая в этой формуле ![]() ![]() Благодаря такой геометрической интерпретации метод Ньютона часто называют методом касательных. ^ ) При решении уравнения (1.1) методом Ньютона иногда возникают сложности при взятии производной функции в формуле (1.2). Это случается, например, когда функция (х) не имеет конкретного вида, а получается из предварительных вычислений или же принимает очень сложную форму. Тогда часто применяют метод секущих. Если в формуле (1.2) заменить f'(х) приближенным выражением ![]() то получится расчетная формула для двухшагового метода секущих: ![]() Метод называется двухшаговым, так как требуется не одно, а два начальных приближения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.4 В качестве начального приближения ![]() ^ В рассмотренных выше методах для решения уравнения (1.1) строилась последовательность приближений, которая сходится к корню уравнения. Такие последовательности называются итерационными. Наряду с методом Ньютона и методом секущих получили широкое распространение и другие методы, в частности метод простой итерации. Чтобы применить метод простой итерации для решения уравнения (1.1), необходимо преобразовать это уравнение к виду ![]() Это приведение к виду, удобному для итераций, можно выполните разными способами (например ![]() ![]() Выберем каким-либо образом приближенное значение, кормя ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На рис.5 показана геометрическая интерпретация метода простой итерации. Корень уравнения (1.4) есть абсцисса точки пересечения графиков функций у =х и ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.5 что ![]() ![]() 1.5. Сходимость Рассматривая итерационные методы решения нелинейных уравнений, мы оставили в стороне вопрос о сходимости итерационных последовательностей. Ведь вполне может получиться так, что ![]() ![]() Пусть в некоторой окрестности корня ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Замечание. Для практического применения метода простой итерации и выбора начального приближения часто используют условие ![]() Пример. Пусть необходимо найти положительный корень уравнения x= е*-2. Как видно, производная правой части этого уравнения больше единицы для положительных х, и метод простой итерации приведет к расходящейся последовательности. Тогда исходное уравнение необходимо преобразовать так, чтобы удовлетворить условию сходимости. В данном случае, например, можно представить его в виде ![]() Отсюда легко выводится аналогичное условие сходимости для метода Ньютона. Сравнивая формулы (1.2) и (1.6), можно представить решение уравнения (1.1) методом Ньютона как решение уравнения (1.5) методом простой итерации с функцией ![]() ![]() ![]() Для реализации итерационных методов приближенного решения нелинейных уравнений остается лишь запрограммировать формулы (1.2),(1.3),(1.4) или (1.6) получения последовательных приближений. Рекомендуется использовать цикл гереаt...until, причем выход из цикла осуществить при выполнении условия ![]() ![]() гереаt х:=F(хО); d:=аЬs(х-хО); хО:=х; until (d ^ Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разбиваются на две группы. К первой относятся так называемые прямые (или точные) методы - алгоритмы, позволяющие за конечное число арифметических действий получить решение системы. Сюда относится известное правило Крамара нахождения решения с помощью определителей и метод Гаусса (метод исключения). Вторую группу составляют приближенные методы, в частности итерационные методы решения систем уравнений. Метод Гаусса используется при решении на ЭВМ систем порядка до 103 (правило Крамера применять при этом просто немыслимо). Итерационными методами решаются системы порядка до 106. При этом строятся последовательности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Рассмотрим систему уравнений N - го порядка: ![]() В матричном виде эта система записывается в виде ![]() 0> |
![]() | На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения... | ![]() | ... |
![]() | Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости | ![]() | Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений |
![]() | Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах | ![]() | Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети |
![]() | Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные... | ![]() | Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений |
![]() | Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.) | ![]() | Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики |