Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами




Скачать 350.48 Kb.
НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
страница1/4
Дата публикации25.12.2013
Размер350.48 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4
Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами.

Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений.
Содержание:

Теоретическая часть

Введение

Отделение корней

Метод половинного деления

Метод итераций

Метод хорд

Метод Ньютона (касательных)

Комбинированный метод хорд и касательных

Индивидуальные задания

Теоретическая часть

Введение

Во многих практически важных случаях, когда уравнение имеет сложный вид, аналитически его точное решение найти не удается. Отсутствуют методы решения в общем виде алгебраических уравнений высоких степеней. Для трансцендентных уравнений точное решение можно найти в немногих самых простых случаях.

Если решение нельзя найти в явном виде, то для отыскания корня используют другие методы. Например, приближенное решение можно получить методом последовательных приближений. Сравнительно легко корни уравнения определяются графически — достаточно лишь для уравнения f(x) = 0 построить график функции y=f(x) и найти точки пересечения кривой с осью абсцисс, в которых эта функция равна нулю. Наконец, корень уравнения можно попытаться определить «методом подбора».

Однако ни один из перечисленных подходов нельзя считать достаточно эффективным при решении инженерных и научных задач на ПЭВМ. Более предпочтительны способы, обеспечивающие одновременно как оперативность получения результата, так и высокую точность.

Когда говорят о методах решения нелинейных уравнений на ПЭВМ, то подразумевают в первую очередь итерационные методы. Главным признаком итерационного метода является много­кратное повторение одного и того же набора действий для получения результата.

В основе итерационного метода лежит итерационная, т. е. повторяемая процедура. Процедура эта строится таким образом, что после каждого ее выполнения производится очередное приближение к корню. Можно сказать, что итерационный метод не­сколько напоминает отыскание корня подбором, однако этот подбор производится не наугад, а по вполне определенному алгоритму.

^ Отделение корней

При решении практических задач обычно приходится проводить предварительное исследование уравнения до его решения. Дело в том, что если уравнение не удается решить аналитически, то заранее трудно определить, сколько оно имеет корней и какова их природа — сколько из них комплексных или веществен­ных, сколько отрицательных или положительных. Поиск корней наугад без предварительного исследования чреват тем, что правильный ответ так и не будет найден. Кроме того, зачастую некоторые корни не имеют физического смысла, и поэтому нет необходимости определять их точные значения.

Однако в ходе предварительного исследования уравнения можно, не вычисляя точных значений всех корней, сразу выбрать из них те, которые представляют наибольший интерес.

Примерное положение корней уравнения f(х) = 0 на числовой оси легко определить, построив график функции y=f(x). Точки пересечения кривой y=f(x) с осью абсцисс, где y = 0, и будут соответствовать искомым корням.

Построенный график позволяет провести отделение указанных корней, т. е. найти на оси х границы отрезков, в каждом из которых располагается не более одного корня.

Пример 1. Отделить корень уравнения cosx= 2х.

Решение

Построим графики функций у = cos х и у = 2х.

Из рисунка 1 видно, что уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [0; 1]. Когда находится отрезок, внутри которого расположен корень, то этот этап решения называется этапом отделения корня.



Рисунок 1 - Графики функций у = cos х и у =
Если непрерывная функция f(х) на отрезке [а; b] строго монотонна и имеет на концах отрезка разные знаки, то на этом отрезке существует (и причем единственный) корень уравнения f(х) = 0.

Действительно, функция f(x) = 2х- cos х в точках х = 0 и х = 1 имеет разные знаки и воз­растает на отрезке [0; 1]:
f(0) = (2 * 0 - cos 0) = 0 - 1 = -1 < 0;

f(1) = (2 * 1 - cos 1) 2 - (0,5) 1,5 > 0.
Действительно, если f(a) < 0, f(b) > 0 (или наоборот), то непрерывная функция f(х) обяза­тельно хотя бы один раз пересекает ось абс­цисс, а иногда несколько раз (рисунок 2).



Рисунок 2 - График функции у =f(х)
Отделение корней осуществляют либо графически, либо на основании аналитических исследований, либо сочетают оба этих способа.
Пример 2. Отделить корни уравнения х3 + 2х- 1 = 0.

Решение

В данном случае f(х) = х3 + 2х- 1, f'(x) = Зх2 + 2. Поскольку f'(х) > 0 при всех х, то функция f(х) возрастает в промежутке (-, +). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (а; b), на котором он находится. Методом проб на­ходим отрезок [а; b], для которого f(а) f(b) < 0, т. е. на концах отрезка функция f(х) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях ар­гумента:

f(-1) = (-1)3 + 2(-1)-1=-4<0,

f(0) = -1<0, f(1) = 1 + 2-1=2>0.

Так как f(1)f(0) > 0, то на отрезке [-1; 0] корня нет; посколь­ку f(-1)f(0) > 0, то корень находится на отрезке [0; 1].
Замечание 1. Можно указать отрезок меньшей длины, которому принадлежит корень. Взяв середину отрезка [0; 1], т. е. положив х= 0,5, по формуле

f(0,5) = (0,5)3 + 2 * 0,5 - 1 > 0.

Так как f(0)f(0,5) <0, то корень находится на отрезке [0; 0,5]. Этот процесс можно продолжать.

Замечание 2. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид х3 = -2х+1 и построим графики функций у = х3, у = -2х + 1. Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой принадлежит интервалу (0; 1).
Для уточнения корней используют несколько различных методов:

  • деления отрезка пополам;

  • простой итерации;

  • хорд;

  • касательных;

  • комбинированный метод.


Метод половинного деления

В методе половинного деления (дихотомии, бисекции) заданный отрезок [а; b] разделим пополам (рисунок 3) и положим х0 = (а + b)/2. Из двух полученных отрезков [а; х0] и [х0; b] выби­раем тот, на концах которого функция f(х) имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и приводим те же рассуждения. Процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного , любую точку отрезка с точностью можно принять за корень уравнения f(х) = 0.


Рисунок 3 - Метод половинного деления (дихотомии)
Таким образом, если х0 и х, таковы, что f0) f(х,) < 0, то полагаем х2 = (х0 + х1)/2 и вычисляем f2). Если f2) = 0, то корень найден. В противном случае из отрезков [х0; х2] и [х2; х1] выбираем тот, на концах которого f принимает значения разных знаков, и проделываем аналогичную операция. Процесс продолжаем до получения требуемой точности.

Пример 3. Составить программу для нахождения корней методом половинного деления для функции F(x) = x2 + 1,7х+ 1,7.

Решение

Схема алгоритма дихотомии показана на рисунке 4.

program polovina; {Половинное деление}

var a,b,e,x:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=x*x-1.7*x+1.7;

end;

begin

write('введите a,b,e'); readln(a,b,e);

repeat

x:=(a+b)/2;

if f(x)*f(b)<0 then a:=x else b:=x;

until abs(a-b)<=2*e

writeln('кopeнь:',x:6:2); readln;

end.



Рисунок 4 - Схема алгоритма дихотомии

Пример 4. Найти корень уравнения с точностью = 104 на отрезке [0,4; 1], используя метод половинного деления.

Решение

Сначала выбираем начальное приближение, разделив отре­зок пополам, т. е. х0 = (а + b)/2. Если F(x) = 0, то х0 является кор­нем уравнения. Если F(x) 0, то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т. д. Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного числа .
Программа_____________________________________________________
program lab;

uses crt;

var x,a,b,e:real;

iteraz:integer;

function fun(x:real):real;

begin

fun:=x+sqrt(x)+exp((l/3)*(ln(x)))-2.5;

end;

begin

repeat

clrscr;

writeln('кopeнь уравнения находится на интервале [a,b]');

write('Введите [a='); readln(a); write('Введите [b='); readln(b);

write('Введите приближённое значение корня Х='); readln(x);

write('Введите точность е='); readln(e);

until (b-a>e) or (x>a) or (x0); iteraz:=0; while (fun(x)<>0) and (abs(a-b)>e) do

begin

iteraz:=iteraz+l;

if (fun(a)*fun(x))<0 then b:=x else a:=x;

x:=((a+b)/2);

end;

writeln('Решение уравнения:');

writeln('Bычиcлeннoe значение корня…',х:6:5);

writeln('Чиcлo итераций.. ',iteraz);

writeln('Программа закончена, нажмите Enter.');

readln;

end.
^ Метод итераций

Пусть задана функция f(х), требуется найти корни уравнения
f(х) = 0. (2)
Метод простых итераций (последовательных приближений) является наиболее общим, и многие другие методы можно пред­ставить как некоторую вариацию метода простых итераций.

Представим уравнение (2) в виде

. (3)
Это можно сделать, например, прибавив х к обеим частям уравнения (3).

Рассмотрим последовательность чисел xi, которая определяется следующим образом:

x0 принадлежит [а; b].

Метод простых итераций имеет следующую наглядную геометрическую интерпретацию (рисунок 6). Решением уравне­ния (3) будет абсцисса точки пересечения прямой у = х с кри­вой у = >(х). При выполнении итераций значение функции (х) в точке xi необходимо отложить по оси абсцисс. Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой у = х и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рис. 6 показаны разные ситуации: а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон.



Рисунок 6 - Приближение к корню методом простой итерации
Сходимость процесса приближения к корню в значительной степени определяется видом зависимости (x). На рисунке 7 показан расходящийся процесс, при котором метод простой итера­ции не находит решения уравнения.



Рисунок 7 - Расходящийся процесс в методе простой итерации
На рисунке 6 сходимость обеспечивается для медленно изме­няющихся функций у(х), для которых выполняется условие

На рисунке 7 расходящийся процесс наблюдается для более быстро меняющейся функции |\|/'(х)| > 1.

Можно сделать вывод, что для обеспечения сходимости метода простой итерации необходимо выполнить условие

На практике в качестве рассматриваемой окрестности ис­пользуют интервал [а; b], а условие сходимости итерационного процесса имеет вид:



Для сходящегося итерационного процесса характерно сле­дующее: при решении задачи переменная последовательно стре­мится к некоторому искомому пределу. Так как итерационный процесс представляет собой последовательность повторяющихся вычислительных процедур, то он, естественно, описывается цик­лическими алгоритмами. Особенность итерационного цикла за­ключается в том, что неизвестен закон изменения рекуррентной величины, выбранной в качестве параметра цикла, и неизвестно число повторений цикла. При этом значение, полученное на n-й итерации, является исходным для следующей (п+ 1)-й итерации (рисунок 8).

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений хn+1 и хn не будет обеспечено вы­полнение неравенства



где — точность вычислений.



Рис. 8. Метод простой итерации
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconИсследование решений системы
Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconРешение уравнений
Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconВопросы по курсу «Теория электромагнитных волн»
Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов