Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами

Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений. Содержание: Теоретическая часть Введение Отделение корней Метод половинного деления Метод итераций Метод хорд Метод Ньютона (касательных) Комбинированный метод хорд и касательных Индивидуальные задания Теоретическая часть Введение Во многих практически важных случаях, когда уравнение имеет сложный вид, аналитически его точное решение найти не удается. Отсутствуют методы решения в общем виде алгебраических уравнений высоких степеней. Для трансцендентных уравнений точное решение можно найти в немногих самых простых случаях. Если решение нельзя найти в явном виде, то для отыскания корня используют другие методы. Например, приближенное решение можно получить методом последовательных приближений. Сравнительно легко корни уравнения определяются графически — достаточно лишь для уравнения f(x) = 0 построить график функции y=f(x) и найти точки пересечения кривой с осью абсцисс, в которых эта функция равна нулю. Наконец, корень уравнения можно попытаться определить «методом подбора». Однако ни один из перечисленных подходов нельзя считать достаточно эффективным при решении инженерных и научных задач на ПЭВМ. Более предпочтительны способы, обеспечивающие одновременно как оперативность получения результата, так и высокую точность. Когда говорят о методах решения нелинейных уравнений на ПЭВМ, то подразумевают в первую очередь итерационные методы. Главным признаком итерационного метода является много­кратное повторение одного и того же набора действий для получения результата. В основе итерационного метода лежит итерационная, т. е. повторяемая процедура. Процедура эта строится таким образом, что после каждого ее выполнения производится очередное приближение к корню. Можно сказать, что итерационный метод не­сколько напоминает отыскание корня подбором, однако этот подбор производится не наугад, а по вполне определенному алгоритму. ^ Отделение корней При решении практических задач обычно приходится проводить предварительное исследование уравнения до его решения. Дело в том, что если уравнение не удается решить аналитически, то заранее трудно определить, сколько оно имеет корней и какова их природа — сколько из них комплексных или веществен­ных, сколько отрицательных или положительных. Поиск корней наугад без предварительного исследования чреват тем, что правильный ответ так и не будет найден. Кроме того, зачастую некоторые корни не имеют физического смысла, и поэтому нет необходимости определять их точные значения. Однако в ходе предварительного исследования уравнения можно, не вычисляя точных значений всех корней, сразу выбрать из них те, которые представляют наибольший интерес. Примерное положение корней уравнения f(х) = 0 на числовой оси легко определить, построив график функции y=f(x). Точки пересечения кривой y=f(x) с осью абсцисс, где y = 0, и будут соответствовать искомым корням. Построенный график позволяет провести отделение указанных корней, т. е. найти на оси х границы отрезков, в каждом из которых располагается не более одного корня. Пример 1. Отделить корень уравнения cosx= 2х. Решение Построим графики функций у = cos х и у = 2х. Из рисунка 1 видно, что уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [0; 1]. Когда находится отрезок, внутри которого расположен корень, то этот этап решения называется этапом отделения корня. Рисунок 1 - Графики функций у = cos х и у = 2х Если непрерывная функция f(х) на отрезке [а; b] строго монотонна и имеет на концах отрезка разные знаки, то на этом отрезке существует (и причем единственный) корень уравнения f(х) = 0. Действительно, функция f(x) = 2х- cos х в точках х = 0 и х = 1 имеет разные знаки и воз­растает на отрезке [0; 1]: f(0) = (2 * 0 - cos 0) = 0 - 1 = -1 < 0; f(1) = (2 * 1 - cos 1) 2 - (0,5) 1,5 > 0. Действительно, если f(a) < 0, f(b) > 0 (или наоборот), то непрерывная функция f(х) обяза­тельно хотя бы один раз пересекает ось абс­цисс, а иногда несколько раз (рисунок 2). Рисунок 2 - График функции у =f(х) Отделение корней осуществляют либо графически, либо на основании аналитических исследований, либо сочетают оба этих способа. Пример 2. Отделить корни уравнения х3 + 2х- 1 = 0. Решение В данном случае f(х) = х3 + 2х- 1, f'(x) = Зх2 + 2. Поскольку f'(х) > 0 при всех х, то функция f(х) возрастает в промежутке (-, +). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (а; b), на котором он находится. Методом проб на­ходим отрезок [а; b], для которого f(а) f(b) < 0, т. е. на концах отрезка функция f(х) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях ар­гумента: f(-1) = (-1)3 + 2(-1)-1=-4<0, f(0) = -1<0, f(1) = 1 + 2-1=2>0. Так как f(1)f(0) > 0, то на отрезке [-1; 0] корня нет; посколь­ку f(-1)f(0) > 0, то корень находится на отрезке [0; 1]. Замечание 1. Можно указать отрезок меньшей длины, которому принадлежит корень. Взяв середину отрезка [0; 1], т. е. положив х= 0,5, по формуле f(0,5) = (0,5)3 + 2 * 0,5 - 1 > 0. Так как f(0)f(0,5) <0, то корень находится на отрезке [0; 0,5]. Этот процесс можно продолжать. Замечание 2. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид х3 = -2х+1 и построим графики функций у = х3, у = -2х + 1. Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой принадлежит интервалу (0; 1). Для уточнения корней используют несколько различных методов: деления отрезка пополам; простой итерации; хорд; касательных; комбинированный метод. Метод половинного деления В методе половинного деления (дихотомии, бисекции) заданный отрезок [а; b] разделим пополам (рисунок 3) и положим х0 = (а + b)/2. Из двух полученных отрезков [а; х0] и [х0; b] выби­раем тот, на концах которого функция f(х) имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и приводим те же рассуждения. Процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного , любую точку отрезка с точностью можно принять за корень уравнения f(х) = 0. Рисунок 3 - Метод половинного деления (дихотомии) Таким образом, если х0 и х, таковы, что f(х0) f(х,) < 0, то полагаем х2 = (х0 + х1)/2 и вычисляем f(х2). Если f(х2) = 0, то корень найден. В противном случае из отрезков [х0; х2] и [х2; х1] выбираем тот, на концах которого f принимает значения разных знаков, и проделываем аналогичную операция. Процесс продолжаем до получения требуемой точности. Пример 3. Составить программу для нахождения корней методом половинного деления для функции F(x) = x2 + 1,7х+ 1,7. Решение Схема алгоритма дихотомии показана на рисунке 4. program polovina; {Половинное деление} var a,b,e,x:real; function f(x:real):real; begin f:=x*x-1.7*x+1.7; end; begin write('введите a,b,e'); readln(a,b,e); repeat x:=(a+b)/2; if f(x)*f(b)<0 then a:=x else b:=x; until abs(a-b)<=2*e writeln('кopeнь:',x:6:2); readln; end. Рисунок 4 - Схема алгоритма дихотомии Пример 4. Найти корень уравнения с точностью = 104 на отрезке [0,4; 1], используя метод половинного деления. Решение Сначала выбираем начальное приближение, разделив отре­зок пополам, т. е. х0 = (а + b)/2. Если F(x) = 0, то х0 является кор­нем уравнения. Если F(x) 0, то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т. д. Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного числа . Программа_____________________________________________________ program lab; uses crt; var x,a,b,e:real; iteraz:integer; function fun(x:real):real; begin fun:=x+sqrt(x)+exp((l/3)*(ln(x)))-2.5; end; begin repeat clrscr; writeln('кopeнь уравнения находится на интервале [a,b]'); write('Введите [a='); readln(a); write('Введите [b='); readln(b); write('Введите приближённое значение корня Х='); readln(x); write('Введите точность е='); readln(e); until (b-a>e) or (x>a) or (x0); iteraz:=0; while (fun(x)<>0) and (abs(a-b)>e) do begin iteraz:=iteraz+l; if (fun(a)*fun(x))<0 then b:=x else a:=x; x:=((a+b)/2); end; writeln('Решение уравнения:'); writeln('Bычиcлeннoe значение корня…',х:6:5); writeln('Чиcлo итераций.. ',iteraz); writeln('Программа закончена, нажмите Enter.'); readln; end. ^ Метод итераций Пусть задана функция f(х), требуется найти корни уравнения f(х) = 0. (2) Метод простых итераций (последовательных приближений) является наиболее общим, и многие другие методы можно пред­ставить как некоторую вариацию метода простых итераций. Представим уравнение (2) в виде . (3) Это можно сделать, например, прибавив х к обеим частям уравнения (3). Рассмотрим последовательность чисел xi, которая определяется следующим образом: x0 принадлежит [а; b]. Метод простых итераций имеет следующую наглядную геометрическую интерпретацию (рисунок 6). Решением уравне­ния (3) будет абсцисса точки пересечения прямой у = х с кри­вой у = >(х). При выполнении итераций значение функции (х) в точке xi необходимо отложить по оси абсцисс. Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой у = х и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рис. 6 показаны разные ситуации: а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон. Рисунок 6 - Приближение к корню методом простой итерации Сходимость процесса приближения к корню в значительной степени определяется видом зависимости (x). На рисунке 7 показан расходящийся процесс, при котором метод простой итера­ции не находит решения уравнения. Рисунок 7 - Расходящийся процесс в методе простой итерации На рисунке 6 сходимость обеспечивается для медленно изме­няющихся функций у(х), для которых выполняется условие На рисунке 7 расходящийся процесс наблюдается для более быстро меняющейся функции |\|/'(х)| > 1. Можно сделать вывод, что для обеспечения сходимости метода простой итерации необходимо выполнить условие На практике в качестве рассматриваемой окрестности ис­пользуют интервал [а; b], а условие сходимости итерационного процесса имеет вид: Для сходящегося итерационного процесса характерно сле­дующее: при решении задачи переменная последовательно стре­мится к некоторому искомому пределу. Так как итерационный процесс представляет собой последовательность повторяющихся вычислительных процедур, то он, естественно, описывается цик­лическими алгоритмами. Особенность итерационного цикла за­ключается в том, что неизвестен закон изменения рекуррентной величины, выбранной в качестве параметра цикла, и неизвестно число повторений цикла. При этом значение, полученное на n-й итерации, является исходным для следующей (п+ 1)-й итерации (рисунок 8). Процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений хn+1 и хn не будет обеспечено вы­полнение неравенства где — точность вычислений. Рис. 8. Метод простой итерации

Похожие:

	Математические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...		Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...
	Исследование решений системы Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя...		Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...
	Решение уравнений Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости		Лабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции... Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений
	Курсовая работа по математическому анализу Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)		Курсовая работа по математическому анализу Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр
	Методические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида		Вопросы по курсу «Теория электромагнитных волн» Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах