Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами




Скачать 350.48 Kb.
НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
страница3/4
Дата публикации25.12.2013
Размер350.48 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > Математика > Решение
1   2   3   4

^ Метод хорд

Если х0, х1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0, a f(x0) f(xx) < 0, то последующие приближения находят по формуле



Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка [а; b] закреплен (рисунок 9), т. е. вычисление при­ближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам



либо



При расчете предполагается, что корень уравнения находит­ся на отрезке [a; b], a f"{x) сохраняет знак на [а; b].



Рисунок 9 - Метод хорд
Из рисунке 9 видно, что получаемые точки хс постепенно схо­дятся к корню уравнения. Поскольку в рассмотренном методе очередное приближение хс определяется с помощью интерполя­ции, учитывающей наклон кривой f(х), он во многих случаях ока­зывается более эффективным, чем метод половинного деления.

Пример 12. Методом хорд найти корень уравнения х4 - 2х - 4 = 0 с точностью до 0,01.

Решение

Положительный корень будет находиться на отрезке [1; 1,7], так как

f(1) = -5<0, а f(1,7) = 0,952 >0.

Найдем первое приближенное значение корня по формуле

х1 = 1-(1,7-1)*f(1)/f(1,7)-f(1)=1,588;

так как f(1,588) = -0,817 < 0, то, применяя вторично способ хорд к отрезку [1,588; 1,7], найдем второе приближенное значение корня:

х2 = 1,588- (1,7 -1,588)f(1,588)/f(1,7) -f(1,588) = 1,639;

f(1,639) = -0,051 <0.
Теперь найдем третье приближенное значение:

х3 = 1,639- (1,7 - 1,639)f(1,639)/f(1,7) -f(1,639) = 1,642;

f(1,642) =-0,016 <0.

После этого найдем четвертое приближенное значение:

х4 = 1,642 - (1,7 - 1,642)f(1,642)/f(1,7) –f(1,642) = 1,643;

f(1,643) = 0,004 >0.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
Пример 13. Методом хорд найти корни уравнения ех - 10 = 0 с заданной точностью .

Решение

Введем следующие обозначения:

а — начало отрезка; b — конец отрезка; eps — погрешность вычислений; х — искомое значение корня; min — модуль значе­ния производной функции в начале отрезка; d — модуль значе­ния производной функции в конце отрезка; х0 — точка, в кото­рой отыскивается производная.

Программа_____________________________________________________
Program kurs;

uses crt;

Var a,b,eps,x,min: real;

{Вычисление заданной функции}

Function fx(x:real): real;

begin

fx:=exp(x)-10*x;

end;

{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}

{Вычисляем значение 2-й производной в точке (5*х0/4)}

Function proizv(x0,eps: real): real;

Var dx,dy,dy2: real;

begin

dx:=l;

Repeat

dx:=dx/2; dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2);

dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4); dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);

Until abs(dy2/(2*dx))
proizv:=dy/dx;

end;

{Уточнение количества знаков после запятой}

Function utoch(eps:real): integer;

Var k: integer;

begin

k:=-l;

Repeat

eps:=eps*10; k:=k+l;

Until eps>l;

utoch:=k;

end;

{Процедура определения наименьшего значения производной на заданном

промежутке}

Procedure minimum(a,b,eps: real; var min: real);

Var d: real;

begin

a:=a-eps; b:=b+eps;

Repeat

a:=a+eps; b:=b-eps; min:=abs(proizv(a,eps));

d:=abs(proizv(b,eps));

If min>d Then min:=d

Until min <>0

end;

{Процедура уточнения корня методом хорд}

Procedure chord(a,b,eps,min: real; var x:real);

Var xl: real;

begin

xl:=a;

Repeat

x:=x 1 -((b-x 1 )*fx(x 1 ))/(fx(b)-fx(x 1)); x 1 :=x

Until abs(fx(x))/min
end;

{Основная программа}

Begin

clrscr;

Writeln ('Введите начало отрезка а, конец отрезка b');

Readln (a,b);

Writeln ('Введите погрешность измерений eps');

Readln (eps);

minimum(a,b,eps,min);

chord(a,b,eps,min,x);

Writeln ('Корень уравнения x= ',x:3:utoch(eps));

Readln;

End.
^ Метод Ньютона (касательных)

Если x0 — начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле



Если f' и f" (первая и вторая производные) непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [a; b], a f(a) f(b) < 0, то, исходя из начального приближения х0 [а; b], удовлетворяю­щего условию f(x0)f"(x0) < 0, можно вычислить с любой точно­стью единственный корень уравнения f(x) = 0.

На практике часто используют модификации метода Ньюто­на, свободные от этого недостатка. Одно из упрощений сводится к тому, что производная вычисляется только один раз в началь­ной точке и затем это значение используется на всех последую­щих шагах. Данная модификация основывается на предположе­нии о малом изменении производной вблизи корня.

Одной из наиболее известных модификаций является метод секущих. В этом методе производная заменяется ее приближен­ным значением:



В формуле для F'(x) в отличие от f'(x) приращение х = хi+1 - xi полагается малым, но х 0. Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции f(x) и f(xi + h), с осью абсцисс. Схема метода Ньютона показана на рисунке 10.

Выберем на отрезке [а; b] произвольную точку х0нулевое приближение. Затем найдем



далее

.



Рис. 10. Метод Ньютона (а) и метод секущих (б)

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сво­дится к вычислению чисел хn по формуле п = 1, 2, 3, ... .

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

|xnxn-1| <.

Схема итерационного процесса метода Ньютона приведена на рисунке 11, из которого понятно, что каждое следующее при­ближение может быть определено по формуле





Рисунок 11 - Схема алгоритма Ньютона

Пример 14. Методом Ньютона (касательных) найти корень уравнения х4 - 2х - 4 = 0 с точностью до 0,01.

Решение

В этом уравнении

f(x) = x4 - 2х - 4, f'(х) = 4x3 - 2, а f"(x) = 12х2.

Так как f(х) и f"(x) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, a именно f(1,7) = 0,952 > 0 и f"(1,7) > 0, то применяем формулу

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0),

где f'(1,7) = 4- 1,73-2 =17,652.

Тогда

х1 = 1,7-0,952/17,652 =1,646.

Применяем второй раз способ касательных:

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1),

где f(x1) =f(1,646) = 0,048, f'(1,646) = 15,838;

х2 = 1,646 - 0,048/15,838 = 1,643;

f(1,643) = 0,004, f'(1,643) = 15,740;

х3 = 1,643 - 0,004/15,740 = 1,6427.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 ра­вен 1,64.

Пример 15. Методом касательных найти действительный корень уравнения х3 + х - 3 = 0.

Решение

Записав данное уравнение в виде х3 = -х + 3 и построив графики функций f(х) = х3 и f2(x) = -х + 3, найдем, что единственный корень уравнения принадлежит отрезку [1; 2].

Определим отрезок меньшей длины, на котором находится корень.

Так как f(х)=х3 + х-3, f(1,2) = (1,2)3 + 1,2 - 3 = -0,072 < 0, f(1,3) = (1,3)3 + 1,3 - 3 = 0,497 > 0, то корень лежит на отрезке [1,2; 1,3]. Серединой этого отрезка является точка х= 1,25. По­скольку f(1,25) = (1,25)3+ 1,25 - 3 = 0,203125 > 0 и f(1,2)<0, то искомый корень принадлежит отрезку [1,20; 1,25]. Данная функция f(х) = х3 + х - 3 имеет производные f'(х) = Зх2 + 1, f"{x) = 6х, принимающие положительные значения на отрезке [1,20; 1,25]. В качестве начального приближения выберем х= 1,25.

Результаты вычислений записываем в табл. 1, из которой видно, что искомый корень

х = 1,21341.

Таблица 1. Метод касательных

п

хn

f(xn) = + хn - 3



xn+1

0

1,25

0, 203125

5,6875

1,214286

1

1,214286

0,004738

5,42347

1,213412

2

1,213412

0,000002

5,417107

1,213412

Пример 16. Методом Ньютона найти корни уравнения у = х3 + 0,1х2 + 0,4х- 1,2 на отрезке [0; 1] с точностью .

Решение

Приведем уравнение к виду х=(х) так, чтобы |'(x)| < l при 0 х+1. Так как max|'(x)| =\|/'(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5, то можно выбрать R = 2. Вычислим (x) = х - (f(x)/R) = х – 0,5х3 -I 0,05х2 - 0,2х + 0,6 = - 0,5х3 - 0,05х2 + 0,8х + 0,6.
Программа_____________________________________________________
program metod_kasatel;

Uses Crt;

Var xn,xnl,a,b,c,mx,y0,x0 :real;

function fl(xl:Real): Real; {Заданная функция}

begin

fl := xl*xl*xl*(-0.5)-0.05*xl*xl+0.8*xl+0.6;

end; f

unction f2(x4:Real): Real;

begin

f2 := X4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4-1.2;

end;

begin

{Основная программа}

Clrscr;

a:=0; b:=l; c:=0.00000001;

Writeln(' От A=',a,' до B=',b); Writeln(' Погрешность c=',c);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

xn:=b; xnl:= fl(xn); y0:=f2(b);

while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}

begin

xn:=xnl; xnl:=fl(xn); y0:= f2(xnl);

{Печать промежуточного результата}

Writeln('xn=' ,xn,' xn+l=',xnl,' f(xn+l)=',y0);

Readln;

end;

{Конец тела цикла}

Writeln('Конечное значения'); Writeln(' xn+l=',xnl,' f(xn+l)=',y0);

Readln;

end.
1   2   3   4

Похожие:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconИсследование решений системы
Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconРешение уравнений
Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconВопросы по курсу «Теория электромагнитных волн»
Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов