Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами




Скачать 350.48 Kb.
НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
страница4/4
Дата публикации25.12.2013
Размер350.48 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > Математика > Решение
1   2   3   4

Пример 17. Комбинированным методом хорд и касательных найти корни уравнения, заданного функцией FUNC(X) на отрезке [а; b] с точностью .

Решение

Формальные параметры процедуры:

входные: a, b — заданный отрезок, на котором ищется реше­ние; eps — точность решения (погрешность); it — наибольшее разрешенное число итераций.

выходные: х — решение, найденное с заданной точностью; к — целое число, равное 0, если процесс решения прошел удач­но, и 1, если решение расходится.
Подпрограмма__________________________________________________
Procedure HORDKAS (A,B,EPS:real; IT:integer; VAR X : real;

VAR K:integer); VarXl,X2,X3,Al,Bl : real;

Kl : integer;

Begin

К := 1; XI := FUNC(A); X2 := FUNC(B);

Al :=A; Bl := B; X3 := В - X2*(B-A)/(X2-X1);

IF SIGN(X2)=SIGN(FUNC(X3)) then Kl:=l else Kl:=2;

repeat

inc (K); X := X3;

Case Kl of

1: X2:= X3-FUNC(X3)*(X3-A1)/ (FUNC(X3)-FUNC(A1));

2: X2:= X3-FUNC(X3)*(B1-X3)/ (FUNC(B1)-FUNC(X3));

end;

X3 := X2;

Case Kl of

1: begin

Al := Al - FUNC(A1)/FUNC1(A1); XI := Al;

end;

2: begin

Bl := Bl - FUNC(B1)/FUNC1(B1); XI := Bl;

end;

end;

until (K>1T) or (ABS(X-X2)
End;

^ Комбинированный метод хорд и касательных

В методах хорд и касательных приближения «подходят» к корню только с одной стороны, что затрудняет оценку их погрешностей. Фактическая погрешность приближений часто оказывается гораздо меньше, чем показывают формулы их оценки, что, в частности, приводит к лишним шагам при вычислениях с заданной точностью. Однако если эти методы применять не раздельно, а в сочетании друг с другом, то от указанного недостатка можно избавиться. Более того, при этом перестают быть нужными специальные формулы оценки погрешностей.

В каждом из случаев относительно знаков и f" последовательные приближения рассматриваемых методов находятся по разные стороны от корня. Если обозначить приближения метода хорд через , приближения метода касательных через , то всегда выполняется или . Тогда, как и в методе половинного деления, корень будет находиться в каждом из вложенных отрезков с концами , (0, 1, 2, …), причем при . Отрезки стягиваются к корню t, поэтому процесс уточнения с точностью до можно остановить сразу же, как только окажется , и взять в качестве приближенного корня середину отрезка между и :

Когда вычисления ведутся без заданной степени точности и на некотором шаге n в качестве приближения к корню выбрана средняя точка tn между и , тогда

Сочетать методы можно по-разному. Находя числа и независимо друг от друга по соответствующим рекуррентным формулам, будет иметь один способ.

Процесс уточнения будет более быстрым, если для вычисления xn+1 методом хорд вместо соответствующего подвижного конца отрезка [а; b] использовать найденное методом касательных приближение , т.е. когда хорды проводятся через точки графика функции с абсциссами и .

Именно при таком способе вычислений есть смысл говорить о комбинированном методе хорд и касательных. Он проиллюстрирован на рис. 12 при > 0, f"> 0 на [а; b].



Рис. 12 Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных
Из сказанного понятно, что вычисление пары чисел xn+1, yn+1 надо начинать с yn+1 , которое определяется по-прежнему формулой метода касательных:

(4)

При соответствующем начальном приближении y0. Затем отыскивается xn+1. При этом благодаря комбинированию методов его вычисление упрощается, поскольку формула метода хорд становится единой, не зависящей от знаков производных.
^ Индивидуальные задания

Отделите аналитически один из корней данного уравнения и уточните его с точностью до = 0,5 • 10-5 следующими методами:

  1. половинного деления;

  2. итераций;

  3. хорд;

  4. касательных;

  5. хорд и касательных.

Данные по вариантам


Вариант

Уравнение

Методы

Вариант

Уравнение

Методы

1

2x3-Зx2-12x-5 = 0

1,2,5

2

x3 + Зx2-24х-10 = 0

1,2,5

3

x3 – 3х2 + 3 == 0

1,3,4

10

2x3 + 9x2-21 = 0

1,3,4

4

х3 + Зx2 -2 = 0

1,2,4

11

х3+ Зх2-3,5 = 0

1,2,4

5

2x3-3x2-12x + 12 = 0

1,3,5

12

x3-4x2 + 2 = 0

1,3,5

6

x3 + Зх2 -1 = 0

1,2,5

13

x3 + 3x2-24x + 1 =0

1,2,5

7

x3-3х2-24x-3 = 0

1,3,4

14

2x3-3x2-12x+8 = 0

1,3,4

8

x3-12x+6 = 0

1,2,4

15

2x3 + 2 -6 = 0

1,2,4

9

x3- 3x2 + 2,5 = 0

1,3,5

16

x3+3x2-6=0

1,3,5

^ Порядок выполнения работы

1. Отделите корни уравнения и выберите один из отрезков изоляции, на котором выполняются условия применимости метода.

2. Возьмите соответствующие начальные приближения и найдите вручную первые приближения. Проверьте условие окончания процесса вычислений.

3. Составьте программу уточнения корня с точностью до е, которая выводила бы результаты в таблицу

п

хn

yn

f(x)

Еn












где хп и упприближения к корню, найденные соответствующим методом, Епрасстояния между ними, f(x)- значение левой части уравнения на i-том шаге.

4. Найдите приближенный корень и выпишите его с верными значащими цифрами.

Контрольные вопросы:

  1. Основные этапы решения уравнений.

  2. Методы локализации корней.

  3. Метод половинного деления.

  4. Метод итераций.

  5. Метод хорд.

  6. Метод касательных.

  7. Комбинированный метод хорд и касательных.



1   2   3   4

Похожие:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconИсследование решений системы
Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconРешение уравнений
Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами iconВопросы по курсу «Теория электромагнитных волн»
Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов