Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами

Пример 17. Комбинированным методом хорд и касательных найти корни уравнения, заданного функцией FUNC(X) на отрезке [а; b] с точностью . Решение Формальные параметры процедуры: входные: a, b — заданный отрезок, на котором ищется реше­ние; eps — точность решения (погрешность); it — наибольшее разрешенное число итераций. выходные: х — решение, найденное с заданной точностью; к — целое число, равное 0, если процесс решения прошел удач­но, и 1, если решение расходится. Подпрограмма__________________________________________________ Procedure HORDKAS (A,B,EPS:real; IT:integer; VAR X : real; VAR K:integer); VarXl,X2,X3,Al,Bl : real; Kl : integer; Begin К := 1; XI := FUNC(A); X2 := FUNC(B); Al :=A; Bl := B; X3 := В - X2*(B-A)/(X2-X1); IF SIGN(X2)=SIGN(FUNC(X3)) then Kl:=l else Kl:=2; repeat inc (K); X := X3; Case Kl of 1: X2:= X3-FUNC(X3)*(X3-A1)/ (FUNC(X3)-FUNC(A1)); 2: X2:= X3-FUNC(X3)*(B1-X3)/ (FUNC(B1)-FUNC(X3)); end; X3 := X2; Case Kl of 1: begin Al := Al - FUNC(A1)/FUNC1(A1); XI := Al; end; 2: begin Bl := Bl - FUNC(B1)/FUNC1(B1); XI := Bl; end; end; until (K>1T) or (ABS(X-X2) End; ^ Комбинированный метод хорд и касательных В методах хорд и касательных приближения «подходят» к корню только с одной стороны, что затрудняет оценку их погрешностей. Фактическая погрешность приближений часто оказывается гораздо меньше, чем показывают формулы их оценки, что, в частности, приводит к лишним шагам при вычислениях с заданной точностью. Однако если эти методы применять не раздельно, а в сочетании друг с другом, то от указанного недостатка можно избавиться. Более того, при этом перестают быть нужными специальные формулы оценки погрешностей. В каждом из случаев относительно знаков и f" последовательные приближения рассматриваемых методов находятся по разные стороны от корня. Если обозначить приближения метода хорд через , приближения метода касательных через , то всегда выполняется или . Тогда, как и в методе половинного деления, корень будет находиться в каждом из вложенных отрезков с концами , (0, 1, 2, …), причем при . Отрезки стягиваются к корню t, поэтому процесс уточнения с точностью до можно остановить сразу же, как только окажется , и взять в качестве приближенного корня середину отрезка между и : Когда вычисления ведутся без заданной степени точности и на некотором шаге n в качестве приближения к корню выбрана средняя точка tn между и , тогда Сочетать методы можно по-разному. Находя числа и независимо друг от друга по соответствующим рекуррентным формулам, будет иметь один способ. Процесс уточнения будет более быстрым, если для вычисления xn+1 методом хорд вместо соответствующего подвижного конца отрезка [а; b] использовать найденное методом касательных приближение , т.е. когда хорды проводятся через точки графика функции с абсциссами и . Именно при таком способе вычислений есть смысл говорить о комбинированном методе хорд и касательных. Он проиллюстрирован на рис. 12 при > 0, f"> 0 на [а; b]. Рис. 12 Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных Из сказанного понятно, что вычисление пары чисел xn+1, yn+1 надо начинать с yn+1 , которое определяется по-прежнему формулой метода касательных: (4) При соответствующем начальном приближении y0. Затем отыскивается xn+1. При этом благодаря комбинированию методов его вычисление упрощается, поскольку формула метода хорд становится единой, не зависящей от знаков производных. ^ Индивидуальные задания Отделите аналитически один из корней данного уравнения и уточните его с точностью до = 0,5 • 10-5 следующими методами: половинного деления; итераций; хорд; касательных; хорд и касательных. Данные по вариантам Вариант Уравнение Методы Вариант Уравнение Методы 1 2x3-Зx2-12x-5 = 0 1,2,5 2 x3 + Зx2-24х-10 = 0 1,2,5 3 x3 – 3х2 + 3 == 0 1,3,4 10 2x3 + 9x2-21 = 0 1,3,4 4 х3 + Зx2 -2 = 0 1,2,4 11 х3+ Зх2-3,5 = 0 1,2,4 5 2x3-3x2-12x + 12 = 0 1,3,5 12 x3-4x2 + 2 = 0 1,3,5 6 x3 + Зх2 -1 = 0 1,2,5 13 x3 + 3x2-24x + 1 =0 1,2,5 7 x3-3х2-24x-3 = 0 1,3,4 14 2x3-3x2-12x+8 = 0 1,3,4 8 x3-12x+6 = 0 1,2,4 15 2x3 + 9х2 -6 = 0 1,2,4 9 x3- 3x2 + 2,5 = 0 1,3,5 16 x3+3x2-6=0 1,3,5 ^ Порядок выполнения работы 1. Отделите корни уравнения и выберите один из отрезков изоляции, на котором выполняются условия применимости метода. 2. Возьмите соответствующие начальные приближения и найдите вручную первые приближения. Проверьте условие окончания процесса вычислений. 3. Составьте программу уточнения корня с точностью до е, которая выводила бы результаты в таблицу п хn yn f(x) Еn … … … … где хп и уп — приближения к корню, найденные соответствующим методом, Еп — расстояния между ними, f(x)- значение левой части уравнения на i-том шаге. 4. Найдите приближенный корень и выпишите его с верными значащими цифрами. Контрольные вопросы: Основные этапы решения уравнений. Методы локализации корней. Метод половинного деления. Метод итераций. Метод хорд. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных.

Похожие:

	Математические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...		Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...
	Исследование решений системы Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя...		Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...
	Решение уравнений Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости		Лабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции... Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений
	Курсовая работа по математическому анализу Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)		Курсовая работа по математическому анализу Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр
	Методические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида		Вопросы по курсу «Теория электромагнитных волн» Комплексная форма уравнений поля. Решение основных уравнений поля при известных токах и зарядах