Математической физики
Скачать 0.79 Mb.
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный технический университет Р. К. Романовский ЛЕКЦИИ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Уравнения колебаний и диффузии Учебное пособие Омск – 2004 УДК 51(075) ББК 22.311я73 Р69 Рецензенты: Н. В. Перцев, доктор физ.-мат. наук, профессор ОмГУ; В. М. Гичев, канд. физ.-мат. наук, с. н. с. Омского филиала Института математики СОРАН. Романовский Р. К. Р69 Лекции по уравнениям математической физики. Уравнения колебаний и диффузии: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. 102 с. Основное назначение данного учебного пособия – методическое обеспечение годового курса “Уравнения математической физики” для студентов специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей.  с Романовский Р. К., 2004 с Омский государственный техни-ческий университет, 2004 СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебный материал пособия соответствует требованиям госстандартов по специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Автор счел необходимым начать изложение с двух повторительных параграфов: краткого обзора по интегралам различных видов и по векторному анализу. Эти разделы являются традиционно трудными для усвоения в курсе высшей математики и в то же время систематически используются в течение всего данного курса. Основным содержанием является исследование краевых задач – задачи Коши и смешанной задачи – для классических уравнений теории колебаний и теплофизики: волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Математическому анализу краевых задач предшествуют подробные физические выводы уравнений, обсуждение краевых условий. Так, выведены уравнения колебаний струны, мембраны, уравнения газовой динамики, звуковых и электромагнитных волн, уравнения распространения тепла и диффузии; приведено с краткими комментариями гиперболическое уравнение теплопроводности, учитывающее конечную скорость распространения тепла. Обсуждается физическая интерпретация получаемых математических результатов. Обращается внимание на универсальность математических моделей физики: одна и та же краевая задача описывает процессы различной физической природы. Краевые задачи решаются, как правило, на основе различных вариантов метода Фурье. Для удобства читателя необходимые сведения о разложениях функций в ряд Фурье по полной ортогональной системе, о представлении функций интегралом Фурье, о специальных функциях даются непосредственно перед теми параграфами, где они используются. Обсуждаются свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, возникающей на промежуточном этапе при решении краевой задачи методом Фурье. При написании данного учебного пособия автор стремился находить относительно простую методику изложения трудных для усвоения разделов курса и надеется, что это ему отчасти удалось. Пособие может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей. Выражаю благодарность Т. Г. Царицинской, методисту кафедры высшей математики за большую помощь в техническом оформлении рукописи. Р. К. Романовский Глава 1 ^ § 1.1. Определения и основные свойства интегралов различных видов (краткий обзор) 1. Пусть в области  на плоскости или в пространстве или на криволинейной поверхности (рис. 1) задана функция  .
Выполним следующее построение. Разделим область на час- ти с мерами (площадями или объемами)  , на каждой части выберем по точке  и составим сумму . (1.1)Обозначим  наибольший из диаметров частей (диаметром множества называется наибольшее расстояние между точками множества). Предел суммы (1.1) при условии  называется интегралом (соответственно двойным, тройным и поверхностным) от функции по области и обозначается  : .Если функция непрерывна в области , включая точки границы, то этот предел существует. Основные свойства интеграла:
 ;
 .Другие обозначения интегралов:  – для двойного и поверхностного,  – для тройного. Будем употреблять термины:  – элемент площади,  – элемент объема. Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию: ,где  – проекция области на ось абсцисс,  и  – уравнения нижней и верхней границ области . Тройной интеграл приводится к двойному по формуле ,где  – проекция области на плоскость xOy,  и  – уравнения нижней и верхней границ области . Если поверхность задается уравнением  , где функция  имеет непрерывные частные производные  , то интеграл по поверхности приводится к двойному интегралу по формуле , где – проекция поверхности на плоскость xOy.2. Пусть на кривой АВ (рис. 2) задана функция f(M). Впишем в кривую ломаную  .
Обозначим длины звеньев   и составим сумму  .Предел этой суммы при условии , где – наибольшая из длин звеньев, называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(M) по кривой АВ и обозначается  : .Если кривая АВ задается параметрическими уравнениями  , (1.2)где правые части имеют непрерывные производные, то имеет место формула  .3. Пусть на кривой АВ задана вектор-функция  . Впишем в кривую АВ ломаную, как в п. 2, и будем рассматривать звенья ломаной как векторы:  (рис. 3). Обозначим  скалярное произведение векторов  : .Составим сумму  .Предел этой суммы при условии  называется криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции по кривой АВ и обозначается  : .Обозначим  проекции векторов  на оси координат. В силу правила векторной алгебры скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций на координатные оси, поэтому  .Интеграл по кривой с уравнениями (1.2) вычисляется по формуле  ,где P, Q, R вычисляются в точке  . Если кривая АВ лежит в плоскости xOy, то  .Для криволинейных интегралов первого и второго рода верны свойства линейности и аддитивности. Кроме того, при изменении направления на кривой АВ интеграл первого рода не изменяется, интеграл второго рода меняет знак на противоположный:  .Интеграл второго рода по замкнутой кривой L (конец В совпадает с началом А) обозначается  ; при этом необходимоуказать на кривой направление, по которому берется интеграл. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 
z
z
, то 
z 
… 
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 "Программное обеспечение автоматизированных систем" | | Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач |
| Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа. Лапласиан в прямоугольной системе координат | | ... |
| Тип уравнений. Преобразования уравнений. Характеристические уравнения (лемма). Приведение к каноническому виду | | Предмет физики. Методы физического исследования. Структура курса физики. Основные единицы си |
| Данные методические указания написаны в соответствии с программой курса физики для технических специальностей в вузах. Пособие содержит... | | Эти модели — результат развития математической экономики как части математической науки. Широко известны примеры применения математического... |
| Предмет, задачи и метод физики. Единицы физических величин. Связь физики с другими науками | | Метод математической индукции,6 Методы научных исследований,7 Полная индукция,8 Индуктивные рассуждения,9 Обобщение. Вывод,10 Дедукция,11... |