1: Матрицы и определители




Название1: Матрицы и определители
страница1/21
Дата публикации25.12.2013
Размер0.97 Mb.
ТипКонспект
zadocs.ru > Математика > Конспект
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21
Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация

высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин»

Утверждаю Проректор по УМР

К. А. Анкудинов

« » 2011 г.

Конспект лекций по дисциплине

Математика для

специальностей 230700 «Прикладная информатика».
Тула 2011

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № от " " 2011 г.

Зав. кафедрой Е.А. Вишнякова

ЛЕКЦИЯ  1
^

Тема 1:  Матрицы и определители


ПЛАН

1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами.

2. Определители квадратных матриц.

3. Свойства определителей.

4. Теорема Лапласа.

1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами

Определение 1. Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

,

aij - элемент матрицы A, где:

i -номер строки,

j - Номер столбца.

Определение 2. Две матрицы одного размера mn называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=Вaij=bij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой A=(a12, a12, ..., a1n) или A=(a2, a2, ..., an).

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

или .

Определение 4. Матрица называется квадратной матрицей n-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n .

Определение 5. Элементы aij матрицы. А, у которых номер строки i равен номеру столбца j, называются диагональными. Они образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.

Определение 6. Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.

Определение 7. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 8. Произведением матрицы. А на число называется матрица B=A, элементы которой bij=aij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n

Определение 9. Суммой двух матриц. А и. В одного размера называется матрица. С+В, элементы которой сij=aij+bij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n .

Определение 10. Если число столбцов матрицы. А равно числу строк матрицы. В и равно k, то произведением матриц. А и. В называется матрица С=АВ, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. сij=ai1b1j+ai2b2j+...+aikbkj для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n

Многие свойства операций над числами справедливы и для операций над матрицами (это проверяется по определению операций):

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) (A+B)=A+B;

4) A(BC)=(AB)C;

5) (AB)=(A)B=A(B);

6) (A+B)C=AC+BC;

7) A(B+C)=AB+AC.

Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, ABBA для матриц и .

Определение 11. Матрица , которая получается из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А.

Из определения следует, что если матрица А имеет размер mn, то транспонированная матрица А' имеет размер nm .

^ 2. Определители квадратных матриц

Определение 1. Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле .

Определение 2. Определителем матрицы 3-го порядка A (определителем 3-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле
.

Заметим, что определитель 3-го порядка матрицы А есть алгебраическая сумма 3!=6 слагаемых, каждое из которых есть произведение трех множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.

Определение 3. Определителем квадратной матрицы n-го порядка A (определителем n-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле , где r(J) - число инверсий в перестановке J из номеров столбцов матрицы (когда номера строк записаны в порядке возрастания), а сумма берется по всем перестановкам J .

Заметим, что определитель n-го порядка матрицы А есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.

^ 3. Свойства определителей

Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно больше элементов равно нулю.

^ 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0,

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. А'=A.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, ..., bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1, b2, ..., bn.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного размера равен произведению их определителей, т.е. С=AB, где С=AB .

^ 4. Теорема Лапласа о разложении определителя

по элементам строки или столбца

Определение 1. Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы n-го порядка A называется его минор Mij , взятый со знаком (-1)i+j , т.е. Аij=(-1)i+j Mij .

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

A=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin (разложение по элементам i-ой строки);

A=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj (разложение по элементам j-го столбца).

ЛЕКЦИЯ  2
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1: Матрицы и определители iconВопрос №2: «Определители. Вычисление определителей»
Матрицы и многомерные векторы. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m столбцов

1: Матрицы и определители icon2. 1 Вопросы для самоконтроля к разделу: Матрицы. Операции над матрицами
Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителя. Теорема Лапласа. Свойства определителей

1: Матрицы и определители iconМатрицы и действия над ними
Матрицы появились в середине XIX века в связи с практической потребностью решения различного рода задач, прежде всего связанных с...

1: Матрицы и определители iconСуммой двух матриц, например: a и B, имеющих одинаковое количество...
Понятие матрицы. Осн операции над матрицами. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Св-ва этих операций

1: Матрицы и определители iconДомашнее задание №1 «Работа в Mathcad с матрицами и слау» Ввести...
Составить расширенные матрицы, транспонированную матрицу, а также. Убедитесь в том, что последние две матрицы симметричные

1: Матрицы и определители iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

1: Матрицы и определители iconДля структурирования педагогической деятельности на данном этапе...
Ельно представляющих собой направления проектной деятельности, отражающие потребности социума. Далее студентам предлагается с помощью...

1: Матрицы и определители iconАвтор идеи-концепции и матрицы первородного Русского языка
Первородный Русский язык. Автор идеи-концепции и матрицы первородного Русского языка: Лукьянов Вячеслав Васильевич

1: Матрицы и определители icon1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство...
Столбцов. Эл-ты м-цы – числа,составл м-цу. М-цы обознач прописными(загл.)б-ми лат алфав.,напр.: А,В,С а для обознач эл-тов м-цы исп...

1: Матрицы и определители iconВопросы к экзамену по курсу «Линейная алгебра» для групп 511, 512, 513
Определители. Основные свойства. Формула полного разложения. Формулировка теоремы Лапласа

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов