Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки




НазваниеРавноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки
страница3/10
Дата публикации25.12.2013
Размер1.16 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ Модуль момента импульса

L = p⋅r⋅sinα = p⋅l (2)

где l– плечо вектора p относительно точки O.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O указанной оси.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности радиусом ri с некоторой скоростью vi, причем вектор скорости, а следовательно и вектор импульса, перпендикулярны радиус-вектору, т.е. радиус-вектор является плечом вектора импульса и согласно выражению (2)

Li = mi⋅vi⋅ri (3)

Тогда момент импульса абсолютно твердого тела будет определяться суммой



Зная, что v = ω⋅ri, получим

L = ∑ω⋅ri⋅mi⋅ri = ω⋅∑mi⋅ri2 = ω⋅I.

Получаем: L = ω⋅I (4)

Продифференцировав выражение (4) по dt, получим:



Выражение (5) – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. В замкнутой системе тел момент внешних сил M = 0, следовательно



Выражение (6) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

АННОТАЦИЯ. Показано, что закон сохранения момента импульса вытекает из закона сохранения углового момента и что момент импульса и угловой момент − разные физические величины. С помощью теоремы Штайнера рассматриваются по отдельности законы сохранения момента импульса систем, состоящих из вращающихся и невращающихся тел. Поясняется различие между моментом импульса и импульсом момента.

ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

Закон сохранения момента импульса является следствием закона сохранения углового момента, который, в свою очередь, является следствием закона сохранения энергии системы. Поэтому неверно, когда закон сохранения момента импульса считают основным законом сохранения наравне с законом сохранения энергии. Следствие не может быть поставлено наравне с причиной, его вызывающей.

Вывод закона сохранения углового момента составной системы

с применением теоремы Штайнера


Рассмотрим простейший вариант, показанный на рисунке, когда система состоит из двух тел с массами m1 и m2 , причем m2 < m1 . Расстояние между центрами масс двух тел равно d. Центр вращения системы из двух тел Оcn лежит на прямой, соединяющей центры масс О и о.

Пусть оба тела вращаются вокруг собственных центров с угловыми скоростями ω1 и ω2 . Одновременно с этим пусть система из двух тел вращается с угловой скоростью ω вокруг общего центра системы Оcn , который находится на оси вращения системы Оz, перпендикулярной плоскости рисунка. Соответственно, и псевдовекторы ω, ω1 и ω2 также перпендикулярны плоскости рисунка.

^ Закон сохранения момента импульса системы невращающихся тел

Физическую величину Lzi = [ri (mivτi )] = [ripi ] называют моментом импульса i–го тела вращающейся системы относительно общей оси вращения системы. Закон сохранения в виде уравнения (6), полученный при пренебрежении угловыми моментами тел, составляющих систему, можно записать в виде

Lz = Σi [ri (mi vτi )] = Σi [riрi ] = const . ( 7 )

Уравнение (7) называют законом сохранения момента импульса замкнутой системы. Сравнение уравнений (2) и (7) показывает, что угловой момент твердого тела и момент импульса вращающейся составной системы друг другу не равны. И уж, во всяком случае, синонимами не являются, как об этом говорится в метрологическом справочнике А.Чертова (1990). Но поскольку их принято обозначать одинаковым символом L, то следует в каждом случае применения пояснять, что имеется в виду. (В метрологическом справочнике А.Чертова момент импульса обозначается, как М0 , но в том же справочнике символом М0 обозначается также и момент силы, то есть совершенно другая физическая величина, что, конечно, следовало бы исправить.)

Физическое содержание закона сохранения момента импульса системы, состоящей из невращающихся тел, описываемого уравнением (7), заключается в следующем: если замкнутая система содержит несколько недеформируемых и не вращающихся вокруг своего центра тел разной массы, движущихся без внешнего сопротивления по орбитам разного радиуса вокруг общего центра с одинаковыми угловыми скоростями, то их суммарный момент импульса не изменяется при изменении масс, касательных скоростей и радиусов кривизны орбит движущихся внутри системы тел.

Любое вращающееся тело можно представить в виде интегральной суммы вращающихся участков тела. Тогда момент импульса вращающегося тела как целого также определяется по уравнению (7) и называется собственным моментом импульса вращающегося тела. В этом случае уравнение (7) можно назвать также законом сохранения собственного момента импульса вращающегося тела.

Этот закон показывает, что собственный момент импульса вращающейся системы может являться синонимом углового момента, только если речь идет о системе, которую можно рассматривать как сумму вращающихся подсистем. Если же систему необходимо рассматривать как единое целое, то следует говорить только об угловом моменте системы.

^ Закон сохранения момента импульса системы вращающихся тел

Если необходимо учесть собственные моменты импульса вращающихся тел, входящих в замкнутую вращающуюся систему, то закон сохранения момента импульса уже не может быть описан уравнением (7). Следует вернуться к рассмотрению уравнения (2) и записать другое уравнение:

Lz = Σi (JziωΙΙi + [riрi ]) = const , ( 8 )

где под ωΙΙi подразумеваются параллельные ω компоненты векторов ωi . А перпендикулярные ω компоненты векторов ωi не вносят свой вклад в суммарный момент импульса вращающейся системы. Уравнение (8) описывает закон сохранения момента импульса замкнутой системы с учетом собственных моментов импульса вращающихся тел, составляющих систему.

Наконец, если в орбитальной форме движения в системе, движущейся по орбите с постоянной по модулю касательной скоростью, приращение энергии системы dW равно нулю, то, можно говорить о том, что приращение модуля импульса касательной силы dSτ и приращение модуля касательного импульса тела dpτ равны нулю, и на этом основании говорить о законе сохранения орбитального момента движущейся по орбите вращающейся системы.

Говорить следует при этом именно о модулях dSτ и dpτ , потому что вектор касательной скорости vτ , являющийся сомножителем импульса тела, не меняется в данном случае только по модулю. В то же время каждое мгновение касательная скорость vτ , а вместе с ней импульс, меняются по направлению. Однако при этом векторное произведение [riрi ] из уравнения (8) остается постоянным как по модулю, так и по направлению.

Обратим также внимание на то, что импульс движущегося по орбите тела pτ определяется по инертной массе m, определяющее уравнение для которой приведено на странице, посвященной обобщенному второму закону Ньютона. Поэтому ставить знак равенства между законом сохранения момента импульса и законом сохранения момента количества движения нельзя, так как в уравнении (4) присутствуют инертные массы m (линейные инертности) движущихся по орбите тел, а количество движения образовано гравитационными массами (гравитационным зарядом) mg (см. Таблицу величин физического поля). Обе массы имеют различные размерности. Момент количества движения является векторным произведением [r (mgvτ )], где vτ − касательная скорость движения гравитационного заряда.

В чем состоит различие между моментом импульса и импульсом момента?

Момент импульса силы и импульс момента силы являются разными физическими величинами, так как у них разные определяющие уравнения. Элементарный импульс момента силы SM (под которым подразумевается импульс вращающего момента M) – это

SM = ∫ Mdt . ( 9 )

А элементарный момент импульса силы можно определить уравнением:

dLz = [R dS] , ( 10 )

или векторным произведением радиуса кривизны траектории R на элементарный импульс силы dS. В уравнении (10) отсутствуют инертные массы, а элементарный импульс силы dS можно определить напрямую через работу сторонних сил.


^ 13) Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.
Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:


где —F сила, действующая на частицу, а r — радиус-вектор частицы.

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно[источник не указан 105 дней], так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.
Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок dl , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка dl и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол между вектором и вектором силы .
Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке dl равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .
Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .
Так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и следовательно
Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , а так как , получаем, что .
Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .
Теперь видно, что произведение есть не что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуль вектора момента силы .
Теперь полная работа записывается очень просто: или .
Единицы
Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,



где Е — энергия, M — вращающий момент, θ — угол в радианах.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconФизические основы механики
Равномерное движение, вычисление пройденного пути при равномерном движении. Равноускоренное движение, вычисление пройденного пути,...

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconВопросы по курсу общей и экспериментальной физики, раздел “механика”
Системы отсчета (их выбор). Материальная точка. Движение материальной точки. Вектор перемещения. Относительность движений. Скорость...

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconТраектория, путь, перемещение. Скорость, ускорение мат точки. Виды...
Равноускоренное прямолинейное движение. Координата, скорость, ускорение, их графики. Движение в поле силы тяжести

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconВопросы итогового экзамена по физике
Механическое движение. Относительность движения. Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки icon10 класс Билеты по физике
...

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconМеханическое движение. Относительность движения. Система отсчета....

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconП лан ответа
Механическое движение Относительность движения, Система отсчета, Материальная точка, Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость....

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки icon1. Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями: X
Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями: x1 = A1 + B1t + C1t2, x2 = A2 + B2t + C2t2, где A1 = 20 м; A2...

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconЭкзаменационные вопросы: Раздел I механика система отсчета Материальная...
Понятия скорости и ускорения. Скорость и ускорение материальной точки при прямолинейном и криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное...

Равноускоренное движение отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени. Криволинейное движение материальной точки iconМатериальная точка. Система отсчета. Кинематическое уравнение движения...
Размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов