4. численные методы




Скачать 229.63 Kb.
Название4. численные методы
страница2/4
Дата публикации18.08.2013
Размер229.63 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4

Метод половинного деления. Дано уравнение F(x)=0. Необходимо решить его с заданной точностью , если известен интервал изоляции [a; b]. Метод включает следующие операции:


а) интервал [a; b] делится пополам; – координата середины отрезка;

b) в качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала [a; b], на концах которой функция имеет разные знаки. Для этого:

- вычисляется значение функции в точке t;

- проверяем: если F(a)·F(t)<0, то корень находится в субинтервале [a; t], тогда b = t. Если условие не выполняется, то корень находится в субинтервале [t; b] и a = t. В обоих случаях получаем новый интервал [a; b], длина которого в 2 раза меньше предыдущего интервала;

c) итерационный процесс повторяем, начиная с пункта а) до тех пор, пока длина [a; b] не станет равной или меньше (например, =10-5), то есть пока не выполнится условие .

^ Метод простой итерации. Для применения данного метода исходное уравнение F(x)=0 должно быть преобразовано к виду x = (x). Например, уравнение преобразуется в соотношение: . В качестве начального приближения x0 принимаем любую точку интервала [a; b]. Далее итерационный процесс поиска строится по схеме: x1 = (x0); x2 = (x1); x3 = (x2), т.е. схождение к корню реализуется рекуррентной формулой:


xn+1 = (xn) (4.4)
Итерационный процесс поиска прекращается, как только выполняется условие . Для использования этого метода (то есть чтобы последовательность x1, x2, ... сходилась к корню) необходимо выполнение условия . Приведем пример. Требуется решить уравнение:

(4.5)
Преобразуем это уравнение для решения методом простой итерации:
. (4.6)
Выберем начальное приближение x0 = 1/e = 0,3678. Последовательно применяя соотношение (4.6), получим:
; ;

;
и далее по аналогии получим: x5 = 0,158; x6 = 0,182; x7 = 0,167; x8 = 0,176; x9 = 0,170.
Метод Ньютона (метод касательных). Метод основан на замене функции F(x) на каждом шаге итерационного процесса поиска касательной, пересечение которой с осью абсцисс дает приближение корня (см. Фиг. 4.1). В качестве точки начального приближения примем точку b. Проведем в этой точке касательную (на первом шаге поиска при x = x0). Получим первое приближение корня x1= x0 – h, где .





Фигура 4.1 Графическая интерпретация метода Ньютона: A – нормальная сходимость;

B – зацикливание итераций
В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:
(4.7)
Итерационный процесс продолжается, пока не выполнится условие: . Метод обеспечивает быструю сходимость, если . Первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a; b], где знаки функции и ее кривизны совпадают. Приведем пример. Требуется решить уравнение:
(4.8)
Для выражения (4.8) получим производную:
(4.9)
Примем в нулевом приближении x0 = 1. Последовательно применяя формулу (4.7) получим:
; ;

и так далее.
Как видно, метод Ньютона сходится очень быстро (хотя не всегда, см. Фиг. 4.1B).
4.3 Решение систем линейных и нелинейных уравнений.
Линейные уравнения. Метод Гаусса. В общем виде система линейных уравнений имеет вид:

(4.10)
где aij – коэффициенты системы, bi – свободные члены, xj – неизвестные, i – номер строки, j – номер столбца, n – порядок системы (число уравнений).

В матричной форме система линейных уравнений имеет вид:
(4.11)
или:

(4.12)

где: - вектор неизвестных величин; - вектор правых частей системы уравнений.

Численные методы решения системы линейных уравнений можно разбить на две группы:

1) точные (прямые) методы;

2) приближенные (итерационные) методы.

Методы первой группы позволяют получить решение за конечное число арифметических действий. К этим методам относятся: правило Крамера, метод Гаусса (исключений), метод прогонки. Методы второй группы в этом курсе не изучаются.

Самым распространенным среди методов первой группы является метод Гаусса. В основе метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Процесс нахождения корней методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к треугольному виду. На втором этапе (обратный ход) из системы треугольного вида последовательно в обратном порядке находятся корни. Для простоты, не представляя общих формул, решим систему 4-го порядка.


(4.13)




Из уравнений 2, 3, 4 с помощью уравнения 1 исключим х1. Чтобы исключить х1 из уравнения 2, умножим обе части уравнения 1 на - 0,5:
(4.14)
Складывая уравнение 2 с (4.14), получим:


Чтобы исключить х1 из уравнения 3, умножим обе части уравнения 1 на - 2:
(4.15)
Складывая уравнение 3 с (4.15), получим:

Для уравнения 4 не надо проводить преобразований, т.к. в нем отсутствует слагаемое с х1. Тогда система (4.13) предстанет в следующем виде:


(4.16)




Теперь из уравнений 3а) и 4 исключим х2 с помощью уравнения 2а). Чтобы исключить х2 из уравнения 3а), умножим обе части уравнения 2а) на - 8:
(4.17)
Складывая уравнение 3а) с (4.17), получим:

Чтобы исключить х2 из уравнения 4, умножим обе части уравнения 2а) на 6:
(4.18)
Складывая уравнение 4а) с (4.18), получим:

Тогда система (4.16) предстанет в следующем виде:


(4.19)





Теперь из уравнения 4b) исключим х3 с помощью уравнения 3b). Для этого умножим обе части уравнения 3b) на - 2:
(4.20)
Складывая уравнение 4b) с (4.20), получим:

Таким образом был совершен прямой ход по методу Гаусса и исходная система (4.13) была преобразована к треугольному виду:


(4.21)




Теперь выполняем обратный ход, находя корни уравнений:

- из 4с) имеем х4 = 3;

- из 3b) получим – 2x3 = – 14 + 4x4 = –2, откуда x3 = 1;

- из 2а) получим – 0,5x2 = 0,5x3 – 0,5x4 = – 1, откуда x2 = 2;

- из уравнения 1 получим 2x1 = 10 – x2 – 3x3x4 = 2, откуда x1 = 1.
Решение систем нелинейных уравнений. В отличие от линейных уравнений для системы нелинейных уравнений отсутствуют прямые методы решения и поэтому всегда применяются итерационные методы (простых итераций, Ньютона и методы оптимизации). Пусть дана система нелинейных уравнений n-го порядка:
(4.22)

или

; i = 1,…,n; - неизвестные (корни).

Необходимо решить эту систему, т.е. найти с точностью (когда выполняется условие ). В итерационных задачах необходимо задать некоторые начальные значения неизвестных . Выбор этих начальных значений во многом определяет эффективность итерационных методов. Если начальное приближение лежит за пределами области сходимости системы, то решение получить нельзя.
Метод простой итерации. Для применения этого метода исходная система (4.22) должна быть преобразована к виду:

(4.23)
Далее, выбрав вектор начальных решений , строим итерационный процесс по схеме:
i = 1,…,n; (4.24)
где m – номер итераций. Итерационный процесс прекращается, как только выполняется условие: .
Метод Ньютона. Это наиболее распространенный метод для решения систем нелинейных уравнений. Он обеспечивает более быструю сходимость, чем другие методы. В основе метода Ньютона лежит представление всех n уравнений исходной системы (4.22) в виде рядов Тейлора:
(4.25)
R1, ... , Rn – члены более высоких порядков.

Если приращение таковы, что все функции fi принимают значения, близкие к корню, то можно предположить, что все левые части этих уравнений обращаются в нули. Отбросив все Ri, получим систему линейных уравнений, в которой приращения являются неизвестными:
(4.26)
Запишем эту систему в матричной форме:
(4.27)

Матрица частных производных , i = (1,…, n); j = (1,…, n) называется матрицей Якоби или якобианом. В методе Ньютона система (4.27) решается на каждой итерации. Найденные значения приращения на каждом шаге используются как поправки к предыдущему решению, применяя формулу:
(4.28)
Итерационный процесс прекращается, как только выполняется условие: .

Пример. Решить методом Ньютона систему уравнений (выполнить 2 итерации):
(4.29)
В качестве начального приближения выберем . Определим частные производные:

(4.30)

Первая итерация. Определяем:



Получаем систему уравнений:


Решая эту систему, получим: Отсюда, используя (4.28) находим

Вторая итерация. Определяем:



Получаем систему уравнений:


Решая эту систему, получим: Отсюда, используя (4.28) находим

Для дальнейшего приближения к корням уравнения необходимо выполнять последующие итерации.

1   2   3   4

Похожие:

4. численные методы iconМетодические указания к лабораторным и самостоятельным работам по...
Информатика и «Вычислительная математика». Численные методы. Часть /Казанский государственный архитектурно-строительный университет....

4. численные методы iconМетодические указания к лабораторным и самостоятельным работам по...
Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». Численные методы....

4. численные методы iconКурсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:...
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

4. численные методы iconВопросы к экзамену по курсу "численные методы "
Итерационные последовательности. Типы сходимости итерационных последовательностей

4. численные методы iconМетод теплового расчета больших космических телескопов и его программная реализация
Специальность 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

4. численные методы iconЛабораторная работа №7
Цель работы: изучить численные методы поиска минимума функции одной переменной. Ознакомиться с методами решения задач условной оптимизации...

4. численные методы iconРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений

4. численные методы iconПлан занятия Сущностные характеристики и направления воспитания....
...

4. численные методы iconЧисленные методы (процедуры) минимизации функции одной переменной...
В связи с тем, что градиент функции многих переменных указывает направление наискорейшего возрастания функции в окрестности точки,...

4. численные методы iconВопросы к экзамену и темы рефератов по курсу «Общий психологический практикум»
Наблюдение и эксперимент как общенаучные методы исследования. Наблюдение и другие описательные методы исследования (опрос, анализ...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов