4. численные методы

Скачать 229.63 Kb.

Название	4. численные методы
страница	3/4
Дата публикации	18.08.2013
Размер	229.63 Kb.
Тип	Документы

zadocs.ru > Математика > Документы

1 2 3 4

4.4 Численное интегрирование

Дана функция y = f(x). Необходимо найти интеграл

на отрезке [a; b]. Если подынтегральная функция f(x) задана аналитически, непрерывна на [a, b] и если известна первообразная F(x), то:

(4.31)

Но на практике, при решении прикладных задач часто применяется численное интегрирование, например в следующих случаях:

Функция задана таблично: y_i = f(x_i), i = 0, 1, ..., n.
Функция задана аналитически, но ее первообразная F(x) не выражается через элементарные функции.
Функция задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно.

При численном интегрировании не используется нахождение первообразной, а алгоритм базируется на геометрическом смысле определенного интеграла, выражающего площадь криволинейной трапеции под подынтегральной кривой на отрезке [a; b]. Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади. При этом выполняются следующие действия:

весь участок [a; b] делится на части;
для этих частей строят интерполяционный многочлен;
вычисляются приближенно площади частичных трапеций;
в результате приближенное значение интеграла равно сумме площадей этих трапеций:

Фигура 4.2 Схема приближенного интегрирования
Нахождение приближенного значения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы называются квадратурными формулами или квадратурными суммами. Величина

называется остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы. Из всех численных методов интегрирования наибольшее распространение получили методы:

прямоугольников, подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени (прямой, параллельной оси абсцисс);
трапеций, подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени (прямой, проходящей через соседние узловые точки). Только этот метод рассматривается в этом курсе лекций;
Симпсона, подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени (квадратичная парабола).

^ Метод трапеций. В этом методе вся кривая подынтегральной функции f(x) на интервале [a; b] заменяется ломаной линией, образуемой последовательным соединением соседних узловых точек (Фиг. 4.3). Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций.

Фигура 4.3 Схема интегрирования по методу трапеций.
Площади частичных трапеций определяются по формулам:

(4.32)
В результате квадратурная формула метода трапеций имеет вид:

(4.33)
Точность этого метода имеет порядок h². Приведем пример.

Вычислить приближенно интеграл:

с шагом интегрирования h = 0,5. Очевидно, что интервал интегрирования делится на 3/0,5 = 6 субинтервалов, для которых имеем 7 точек: x_i, y_i, i = 0,…,6. Результаты расчета значений y_i, выполненные по формуле

приведены в Таблице 4.2.
Таблица 4.2 Значения подинтегральной функции y = f(x).

x_i	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y_i	1	0,65	0,452	0,319	0,223	0,153	0,102

Используя формулу (4.33) получим приближенное значение интеграла:

.
^ 4.5 Численные методы решения дифференциальных уравнений
На практике лишь небольшое число дифференциальных уравнений допускает интегрирование в квадратурах (сведение решения к численному интегрированию). Еще реже удается получить решение в элементарных функциях, поэтому большое распространение получили численные методы решения дифференциальных уравнений. Общий вид дифференциального уравнения F(x, y, y') = 0, где y = y(x) – неизвестная функция от x, например:

(4.34)
Но чаще используется нормальная форма дифференциального уравнения: y' = f(x, y), например:

(4.35)
Общим решением дифференциального уравнения:
dy/dx = y' = f(x, y) (4.36)
является семейство функций y = y(x, C). При решении прикладных задач обычно ищут частное решение. Выделение частного решения из семейства общих осуществляется с помощью начальных условий. Нахождение частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши, когда даны: уравнение y' = f(x, y); начальное условие y(x₀) = y₀; интервал интегрирования [a; b]; шаг интегрирования h и требуется найти зависимость y(x). Таким образом в задаче Коши необходимо найти табличную функцию y_i = f(x_i), которая удовлетворяет заданным начальным условиям на участке [a; b] с шагом h (Фиг. 4.4).

Фигура 4.4 Графическое сопровождение численного решения ОДУ

1 2 3 4

Похожие:

	Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по... Информатика и «Вычислительная математика». Численные методы. Часть /Казанский государственный архитектурно-строительный университет....		Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по... Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». Численные методы....
	Курсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:... Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования		Вопросы к экзамену по курсу "численные методы " Итерационные последовательности. Типы сходимости итерационных последовательностей
	Метод теплового расчета больших космических телескопов и его программная реализация Специальность 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ		Лабораторная работа №7 Цель работы: изучить численные методы поиска минимума функции одной переменной. Ознакомиться с методами решения задач условной оптимизации...
	Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений		План занятия Сущностные характеристики и направления воспитания.... ...
	Численные методы (процедуры) минимизации функции одной переменной... В связи с тем, что градиент функции многих переменных указывает направление наискорейшего возрастания функции в окрестности точки,...		Вопросы к экзамену и темы рефератов по курсу «Общий психологический практикум» Наблюдение и эксперимент как общенаучные методы исследования. Наблюдение и другие описательные методы исследования (опрос, анализ...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы