4. численные методы




Скачать 229.63 Kb.
Название4. численные методы
страница4/4
Дата публикации18.08.2013
Размер229.63 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4

Методы Рунге-Кутта. Наиболее эффективными и часто применяемыми методами решения задачи Коши являются методы Рунге-Кутта. Они основаны на аппроксимации искомой функции y (в пределах каждого шага h) многочленом, который получен при помощи разложения функции y в ряд Тейлора. Разложим функцию y(x) в окрестности шага h каждой i-й точки:

(4.37)


Отбрасывая слагаемые этого ряда и выполняя некоторые дополнительные преобразования Рунге и Кутта создали серию методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
^ Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта первого порядка). Если шаг h мал, то члены ряда, содержащие h2, h3, h4 и т.д. являются малыми более высоких порядков. Отбросим в (4.37) члены ряда, содержащие h2, h3 и т.д., тогда получим формулу Эйлера:
; или (4.38)
Точность метода Эйлера имеет порядок h2. Геометрический смысл метода Эйлера показан на Фиг. 4.5. Так как y' = f(xi, yi) = tgi, то yi+1 = yi + htgi и таким образом в методе Эйлера искомая функция y(x) представляется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует эту функцию (Фиг. 4.5).



Фигура 4.5 Графическое представление метода Эйлера.
Пример. Выполнить методом Эйлера 3 первых шага (h = 0,05) при решении уравнения:
(4.39)

Начальное условие: при , .

1-ый шаг: по формуле (4.38) получим: . Применяя (4.39) находим:


2-ой шаг: по формуле (4.38) получим: . Применяя (4.39) находим:



Аналогично, выполняя 3-ий шаг, получим:


Метод Рунге-Кутта второго порядка. Если отбросить в (4.37) члены ряда, содержащие h3, h4 и т.д., то получим формулу:

(4.40)
Чтобы сохранить член ряда, содержащий h2, нужно каким-то образом саппроксимировать вторую производную. Рунге предложил это сделать через разделенную разность 2-го порядка.

(4.41)
Тогда подставляя (4.41) в (4.40), получим:


или:

(4.42)

Далее значение yi+1 в он определил по формуле Эйлера: . Тогда формула (4.42) примет вид:


В общепринятых обозначениях метод Рунге-Кутта 2-го порядка представляется в форме:
(4.43)

Точность метода имеет порядок h3.

Пример. Выполнить 2 шага методом Рунге-Кутта 2-го порядка при решении уравнения:


при x0 = 1; y0 = 0,5; h = 0,05
На первом шаге имеем:

Подставляя численные значения, получим:


На 2-ом шаге имеем:

Подставляя численные значения, получим:

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Этот метод получил наибольшее распространение. В нем искомая функция y(x) аппроксимируется рядом Тейлора (4.37), в котором сохранен член ряда, содержащий h4. Метод получил название метода Рунге-Кутта 4-го порядка, но в литературе он известен больше как просто метод Рунге-Кутта. Точность этого метода имеет порядок h5 и при его реализации выполняется следующая последовательность вычислительных операций:
;

(4.44)


4.6 Решение систем дифференциальных уравнений и краевые задачи.
В общем виде система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) можно записать в форме:
(4.45)
или:

i, k = 1,…,n; (4.46)
Для задачи Коши необходимо задать начальные условия в виде: . Для численного решения ОДУ применяются те же методы, что и для решения одного дифференциального уравнения. Приведем пример.

Дана система уравнений:



при начальных условиях: Выполнить 2 шага (h = 0,06) интегрирования этих уравнений методом Эйлера.

Для 1-го шага применяем формулы:



Отсюда:


Для 2-го шага применяем формулы:



Отсюда:


Методы Рунге-Кутта можно использовать не только для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка y' = f(x, y), но и для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков:
y(m) = f(x, y, y', y'', ... , y(m–1)) (4.47)
с начальными условиями: .

Любое дифференциальное уравнение m-го порядка можно свести к системе, состоящей из m дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для этого сделаем замены:
y1 = y'; y2 = y'' = y1' y3 = y''' = y2' ... y(m) = y(m–1)'.
Мы получили систему дифференциальных уравнений 1-го порядка:
(4.48)
с начальными данными: .

Порядок системы равен m. Неизвестными системы являются m функций (y, y1, y2, ..., ym-1).

В прикладных задачах чаще всего решаются дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка y'' = f(x, y, y') сводится к системе двух уравнений первого порядка:
(4.49)
Пример. Пусть дано уравнение:

(4.50)
с начальными данными: Сначала представим это уравнение в явном виде: . Теперь, выполняя замену , получим систему 2-х уравнений:

(4.51)

с начальными данными Система (4.51) может быть решена любым из вышеприведенных численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.
Краевые задачи. В отличие от задач Коши в краевых задачах часть граничных условий задается на другом конце интервала интегрирования. Например, рассмотрим задачу охлаждения горячих газов жидкостью по схеме “противотока” (Фиг. 4.6).




Фигура 4.6 Схема охлаждения газа жидкостью.
Эта задача представляется 2-мя дифференциальными уравнениями:
(4.52)
Температура газа известна на входе при x = x0, а температура жидкости известна на другом конце теплообменника при x = xf. Таким образом, непосредственно интегрировать систему (4.52) вышеприведенными методами невозможно, т.к. температура жидкости Tж неизвестна для x0. Задачи такого типа называются краевыми и решать их значительно сложнее, чем задачи Коши. Приведем один из методов для решения краевых задач (метод “стрельбы”). Для иллюстрации этого метода напишем систему 2-х ОДУ:
(4.53)
При известно x0, а при известно yf (Фиг.4.7).




Фигура 4.7. Иллюстрация метода “стрельбы”.
Согласно методу “стрельбы” произвольно (на основе интуиции) задается значение и начинается интегрирование уравнений (4.53) (с начальными условиями ) любым из методов решения задач Коши. В результате интегрирования получим линии 1x и 1y. Естественно, что в конце интервала интегрирования значение будет отличаться от yf. Тогда выберем новое значение и снова начинаем интегрировать уравнения (4.53) с начальными условиями . В результате получим линии 2x и 2y со значением . Допустим, что . Тогда необходимо выбрать значение в интервале , например, и снова начать интегрирование системы (4.53) с начальными данными , получить новое значение и т.д. до тех пор, пока не будет достигнута допустимая погрешность: . Отметим, что кроме метода стрельбы существуют и другие методы решения краевых задач, которые изложены в учебниках по вычислительной математике.
Контрольные вопросы.
1. Чем аналитическое решение задачи отличается от численного решения?
2. Опишите идею метода Гаусса для решения линейных уравнений.
3. Опишите метод простой итерации для решения нелинейного уравнения.
4. Опишите метод Ньютона для решения нелинейного уравнения.
5.Как отличить линейное уравнение от нелинейного? Привести пример
6.Чем отличается обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) от алгебраического нелинейного уравнения?
7.Что требуется определить в ОДУ, а что в алгебраическом нелинейном уравнении?
8.Чем отличается задача Коши от краевой задачи?
9. Как ОДУ с производными высокого порядка привести к системе ОДУ 1-го порядка?
10. Опишите идею численного определения интеграла.
11. Выполнить 4 итерации методом простой итерации при решении уравнения начиная с x0 = 5.
12. Выполнить 2 итерации методом простой итерации при решении системы уравнений:
начиная с x0 = 0,6 и y0 = 0,6.
13. Выполнить 2 итерации методом Ньютона при решении уравнения:
начиная с x0 = 4.

14. Определить методом трапеций значение интеграла . Интервал интегрирования разбить на 6 субинтервалов.
15. Выполнить 4 шага интегрирования методом Эйлера при решении уравнения:
при x0 = 1 и y0 = 3, h = 0,1.
16. Выполнить 2 шага интегрирования методом Рунге-Кутта 2-го порядка при решении уравнения: при x0 = 0,5 и y0 = 1, h = 0,1.
17. Выполнить 2 шага интегрирования методом Эйлера при решении системы уравнений:
при τ0 = 0, x0 = 0, y0 = 0, h = 0,2.
18. Решить методом Ньютона систему 2-х линейных уравнений:
при x0 = y0 = 5.
На втором приближении проверить, что уже на первом приближении было получено точное решение.
1   2   3   4

Похожие:

4. численные методы iconМетодические указания к лабораторным и самостоятельным работам по...
Информатика и «Вычислительная математика». Численные методы. Часть /Казанский государственный архитектурно-строительный университет....

4. численные методы iconМетодические указания к лабораторным и самостоятельным работам по...
Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». Численные методы....

4. численные методы iconКурсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:...
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

4. численные методы iconВопросы к экзамену по курсу "численные методы "
Итерационные последовательности. Типы сходимости итерационных последовательностей

4. численные методы iconМетод теплового расчета больших космических телескопов и его программная реализация
Специальность 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

4. численные методы iconЛабораторная работа №7
Цель работы: изучить численные методы поиска минимума функции одной переменной. Ознакомиться с методами решения задач условной оптимизации...

4. численные методы iconРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений

4. численные методы iconПлан занятия Сущностные характеристики и направления воспитания....
...

4. численные методы iconЧисленные методы (процедуры) минимизации функции одной переменной...
В связи с тем, что градиент функции многих переменных указывает направление наискорейшего возрастания функции в окрестности точки,...

4. численные методы iconВопросы к экзамену и темы рефератов по курсу «Общий психологический практикум»
Наблюдение и эксперимент как общенаучные методы исследования. Наблюдение и другие описательные методы исследования (опрос, анализ...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов