Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения




Скачать 74.05 Kb.
НазваниеМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Дата публикации01.02.2014
Размер74.05 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
ЗАДАНИЕ 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

4.1.  Постановка задачи

Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(1)

которая может быть представлена в векторно - матричной форме:

, (2)

где – вектор свободных членов, – вектор неизвестных, A – матрица коэффициентов системы, размером .

При исследовании многих сложных систем и процессов на промежуточных этапах формирования их математической модели, часто возникает необходимость решения СЛАУ. Например, при аппроксимации экспериментальных данных функцией определённого класса.

Математические модели в форме дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие процессы различной физической природы, с помощью известных приближённых методов сводятся к решению СЛАУ.

Таким образом, решение СЛАУ приобретает особое значение в процессе математического моделирования систем и процессов. В связи с этим необходимо уделить серьёзное внимание методам решения математических моделей этого класса.

В данной лабораторной работе рассмотрим две группы методов решения СЛАУ – прямые (точные) и итерационные (приближенные).

^ 4.2.  Информация к выполнения задания 1

Для реализации метода Гаусса в среде MathCAD требуется ввести понятие расширенной матрицы системы. Для системы (1) расширенная матрица имеет вид:

. (3)

^ Прямой ход метода Гаусса приводит расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

. (4)

Обратный ход преобразует матрицу (4) к виду

, (5)

где последний столбец содержит решение системы (1).

Для реализации метода Гаусса рекомендуется использовать следующие встроенные функции MathCAD:

augment(A,B) − формирует расширенную матрицу, путём добавления к матрице коэффициентов системы ^ А столбца свободных членов B;

rref(AR) − приводит расширенную матрицу системы (3) к виду (5) , т. е. rref(AR) реализует прямой и обратный ходы метода Гаусса;

submatrix(AS,iн,iк,jн,jк) − выделяет фрагмент матрицы AS (iн и iк − номера соответственно начальной и конечной строк выделяемого фрагмента, jн и jк − номера начального и конечного столбцов выделяемого фрагмента).

Пример выполнения задания 1

Дана СЛАУ: (6)

Фрагмент рабочего документа MathCAD

1.  Задание матрицы коэффициентов системы А и вектора свободных членов B:





2.  Формирование расширенной матрицы системы AR



3.  Выполнение прямого и обратного ходов метода Гаусса, в результате которых получается матрица AS вида (5)



4.  Выделение из матрицы AS последнего столбца, представляющего собой решение заданной системы X



5.  Проверка правильности решения



^ 4.3.   Информация к выполнения задания 2

Для реализации метода LU- разложения рекомендуется использовать следующие встроенные функции MathCAD:

lu(A) − осуществляет LU-разложение матрицы A, а именно формирует составную матрицу Q:

для A =; Q =;




submatrix (Q, … , … , … , …) − выделяет фрагмент матрицы Q.

Пример выполнения задания 2. Решение СЛАУ (6).

Фрагмент рабочего документа MathCAD

1.  LU-разложение матрицы коэффициентов A и формирование составной матрицы Q:





2.  Выделение нижней треугольной матрицы L из составной матрицы Q:





3.  Выделение верхней треугольной матрицы U из составной матрицы Q:




4.  Определение вектора вспомогательных переменных G:



5.  Определение вектора решения системы X



^ 4.4.   Информация к выполнения задания 3

Обозначение: det A= – определитель матрицы A.

Пример выполнения задания 3. Решение СЛАУ (6) матричным методом.

Фрагмент рабочего документа MathCAD

1.  Проверка условия невырожденности матрицы A



2.  Определение вектора решения системы X



^ 4.5.   Информация к выполнения задания 4

Метод итерации относится к разряду приближённых.

Рекомендуется использовать специальный вычислительный блок MathCAD:

Given

··················· = ····

··················· = ····

··················· = ····

Find (x1, x2, … , xn)

Примечание. Знак логического оператора «=» можно ввести в документ с панели инструментов Математика => палитры Операторы или с помощью сочетания клавиш Ctrl + =.

В качестве начальных (нулевых) приближений для искомых неизвестных:



рекомендуется принимать соответствующие значения свободных членов

Пример выполнения задания 4. Решение СЛАУ (6).

Фрагмент рабочего документа MathCAD

1.  Задание начальных (нулевых) приближений для искомых неизвестных:



2.  Нахождение решения системы (6)




10·x1–x2+10·x3=5

15·x1+20·x2+ x3=–10

–2·x1–10·x3=–1



    1. Информация к выполнения задания 5

Пример выполнения задания 5. Решение СЛАУ (6).

Фрагмент рабочего документа MathCAD




    1. Задания

1.  Решить заданную СЛАУ ( из табл. 4.1.) методом Гаусса. Индивидуальный вариант.

2.  Решить заданную СЛАУ методом LU- разложения. Индивидуальный вариант.

3.  Решить заданную СЛАУ матричным методом. Индивидуальный вариант.

4.  Решить заданную СЛАУ методом итерации. Индивидуальный вариант.

5.  Решить заданную СЛАУ c помощью встроенной функции MathCAD lsolve (…). Индивидуальный вариант.

Таблица 4.1

Вариант

СЛАУ

Решение

1





2





3





4





5





6





7





8





9





0






Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconМатематические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconРешение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами
Цель: научиться применять численные методы для уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconКакие из перечисленных методов решения слау относят к приближённым?
Какие системы линейных алгебраических уравнений называют совместными определёнными

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения icon4. численные методы
Эвм и в этом случае объем расчетов не имеет значения (до определенного предела). В основе алгоритмов лежат численные методы решения...

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconМатрицы и действия над ними
Матрицы появились в середине XIX века в связи с практической потребностью решения различного рода задач, прежде всего связанных с...

Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения iconМетодические указания к выполнению тестовых заданий по учебной дисциплине...
Курс «Экономико-математические методы и модели» посвящен современным методам количественного обоснования управленческих решений,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов