Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта

Тема: Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге - Кутта. Цель: научиться определять численное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения Теория дифференциальных уравнений — раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Ее результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко — в физике. Неформально говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некото­рая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от нее. ^ Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы­вающее аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно. Наивысший по­рядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения. Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их ско­рости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Обыкновенные дифференциальные уравнения — это уравнения вида F(t, х, х', х",..., х(n)) = 0, где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о сиcтеме дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число п на­зывается порядком дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, содержащее неизвестные функции от нескольких пе­ременных и их частные производные. Решение задач на нахождение функции по заданным свой­ствам сводится к решению уравнения, связывающего искомую функцию и величины, задающие ее свойства. Поскольку свой­ства функции выражаются через ее производные, то, решая ука­занную выше задачу, приходим к уравнению, связывающему ис­комую функцию и ее производные. Такие уравнения называют­ся дифференциальными. Решая полученное дифференциальное уравнение, находят искомую функцию. Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения на­зывается интегральной кривой этого уравнения. ^ Численное решение дифференциального уравнения Решить задачу Коши на примере уравнения первого порядка (1) Уравнения высших порядков можно свести к системе урав­нений первого порядка. Например, уравнение второго порядка y" = f(x, y, y') можно переписать в следующем виде: z' = f(x, у, z); y' = z, где z — новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь получается система уравнений относительно у и z. Решение этой системы дает функцию и ее производ­ную. Построение численных алгоритмов решения уравнения (1) опирается на дискретизацию задачи. Введем в области расчета х [а, b] дискретный набор точек хi = а + hi, i= 0, 1, ..., N, h = (b - a)/N, в которых будет вычисляться приближенное ре­шение. Точки xi будем называть узлами интегрирования или узла­ми сетки (рис. 1), расстояние h между узлами — шагом интег­рирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов (xi , i = 0, 1, ..., N) будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов. Рис. 1. Прямоугольная сетка Также будем пользоваться другими обозначениями: (уi, i=0, 1, ..., N) — совокупность искомых приближенных значений решения задачи в узлах сетки; (fi=f(xi,yi), 1 = 0, 1, ..., N) — совокупность значений правой части уравнения в узлах. Различные совокупности величин, отнесенных к узлам сет­ки, называются сеточными функциями. Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближенного решения следующим образом: где у(хi) — значение точного решения в узле сетки. Метод, по которому получено численное решение, является методом р-го порядка точности, если выполняется неравенство Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближенного решения задачи в узлах сетки. Простейший способ их конструирования опирается на заме­ну производной в левой части уравнения в окрестности каждого узла приближенным разностным отношением по формулам чис­ленного дифференцирования. ^ Метод Эйлера Заменяя в (1) производную в окрестности каждого i-го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера: (2) Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окрестности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями). Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополни­тельными условиями (начальными или краевыми) называют раз­ностной схемой. Таким образом, (2) — это разностная схема Эйлера. Последовательные значения yi вычисляются по формуле (3) которая непосредственно следует из соотношения (2). Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интер­претацию. Искомая интегральная кривая у(х) на отрезке [а; b] приближается к ломаной (рис. 2), наклон которой на каждом элементарном участке [хi, хi+1 ] определяется наклоном инте­гральной кривой уравнения в точке (хi, уi). Рис. 2. Интегральная кривая Замечание. К этому же методу можно придти, заменяя производную в урав­нении (3) разностным отношением Последовательные значения yi в этом случае вычисляются по формуле Однако при этом возникают некоторые трудности, связан­ные с тем, что искомая величина yi входит в правую часть урав­нения, причем, в общем случае, нелинейным образом. Эти труд­ности непринципиальны, достаточно вспомнить о методах реше­ния нелинейных уравнений. Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближенного решения в очередном i-м узле Такого рода методы, в которых для вычисления приближен­ного решения в очередном i-м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), на­зываются неявными методами. В противоположность этому мето­ды, в которых приближенное решение в очередном i-м узле явно выражается через предыдущие значения уi-1, уi-2, ..., называются явными методами. При этом, если для вычисления yi использу­ется только одно предыдущее значение ум, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений — многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рис. 3). Рис. 3. Начальный шаг метода Эйлера В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме. Пусть дано дифференциальное уравнение у' = f(x, у). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближенных значений функции у = у(х), удовлетворяющей заданным начальным условиям x x1 x2 x3 x4 x5 x6 … xn y y1 y2 y3 y4 y5 y6 … yn где хi = х0 + ih, h = — шаг таблицы. Приближенно можно считать, что правая часть в y'=f(x, у) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле y – y0 = f(x0, y0)(x-x0), y = y0 + f(x0, y0)(x-x0); если x = x1, то y1 = y0 + f(x0 ,y0)(x1-x0), y1 = y0 + hf(x0 ,y0) y0 = hf(x0, y0); если x = x2, то y2 = y1 + f(x1, y1)(x2-x1), y2 = y1 + hf(x1, y1) y1 = hf(x1, y1), … если x = xi+1, то yi+1 = yi + hf(xi, yi) yi = hf(xi, yi). Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул yk = hf(xk, yk), yk+1 = yk+yk, где k = 0, 1, 2, ..., n. Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [xi; xi+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рис. 4, 5). Рис. 4. Интегральная кривая Рис. 5. Касательная к кривой Пример 1. Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение у' = у-х с начальными условиями х0 = 0; y0 = 1,5 на отрезке [0; 1,5] при h = 0,25. Решение i хi yi 1 2 3 4 5 0 0 1,5 1,5 0,375 1 0,25 1,875 1,625 0,406 2 0,5 2,281 1,781 0,445 3 0,75 2,726 1,976 0,494 4 1 3,22 2,221 0,555 5 1,25 3,775 2,525 0,631 6 1,5 4,407 По начальным данным заполним первую строку в столбцах (2) и (3). Из уравнения =уi – хi вычисляем (i=0, 1, 2, ..., 5) в столбце (4). К содержимому столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки (вычисляем уi+1 = уi+ уi), и результат записы­ваем в столбец (3) следующей строки. Определяем xi+1=xi+h и затем шаги повторяем до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок.

Похожие:

	Вопросы к зачету Модифицированный метод Эйлера при решении обыкновенных дифференциальных уравнений		Лабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции... Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений
	Вопросы к экзамену по курсу дифференциальных уравнений Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая		Численнное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Оду называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде оду первого порядка...
	Курсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:... Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования		Подготовить ответы на вопросы!!!! Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы...
	Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...		Программа экзамена по математике для специальностей атп, томп Основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения...
	Решение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения» Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети		Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики Дифференциальное уравнение является математическое уравнение для неизвестной функции одного или нескольких переменных, что касается...