Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта




Скачать 246.51 Kb.
НазваниеНахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта
страница1/3
Дата публикации20.02.2014
Размер246.51 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > Математика > Решение
  1   2   3
Тема: Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге - Кутта.

Цель: научиться определять численное решение дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения

Теория дифференциальных уравнений — раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Ее результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко — в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некото­рая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от нее.

^ Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы­вающее аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно. Наивысший по­рядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их ско­рости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это уравнения вида F(t, х, х', х",..., х(n)) = 0, где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о сиcтеме дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число п на­зывается порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, содержащее неизвестные функции от нескольких пе­ременных и их частные производные.

Решение задач на нахождение функции по заданным свой­ствам сводится к решению уравнения, связывающего искомую функцию и величины, задающие ее свойства. Поскольку свой­ства функции выражаются через ее производные, то, решая ука­занную выше задачу, приходим к уравнению, связывающему ис­комую функцию и ее производные. Такие уравнения называют­ся дифференциальными. Решая полученное дифференциальное уравнение, находят искомую функцию.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения на­зывается интегральной кривой этого уравнения.

^ Численное решение дифференциального уравнения

Решить задачу Коши на примере уравнения первого порядка

(1)

Уравнения высших порядков можно свести к системе урав­нений первого порядка. Например, уравнение второго порядка
y" = f(x, y, y')
можно переписать в следующем виде:
z' = f(x, у, z);

y' = z,
где zновая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь получается система уравнений относительно у и z. Решение этой системы дает функцию и ее производ­ную.

Построение численных алгоритмов решения уравнения (1) опирается на дискретизацию задачи. Введем в области расчета х [а, b] дискретный набор точек хi = а + hi, i= 0, 1, ..., N, h = (b - a)/N, в которых будет вычисляться приближенное ре­шение. Точки xi будем называть узлами интегрирования или узла­ми сетки (рис. 1), расстояние h между узлами — шагом интег­рирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов (xi , i = 0, 1, ..., N) будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов.



Рис. 1. Прямоугольная сетка
Также будем пользоваться другими обозначениями:

i, i=0, 1, ..., N) — совокупность искомых приближенных значений решения задачи в узлах сетки;

(fi=f(xi,yi), 1 = 0, 1, ..., N) — совокупность значений правой части уравнения в узлах.

Различные совокупности величин, отнесенных к узлам сет­ки, называются сеточными функциями.

Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближенного решения следующим образом:

где у(хi) — значение точного решения в узле сетки.

Метод, по которому получено численное решение, является методом р-го порядка точности, если выполняется неравенство

Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближенного решения задачи в узлах сетки.

Простейший способ их конструирования опирается на заме­ну производной в левой части уравнения в окрестности каждого узла приближенным разностным отношением по формулам чис­ленного дифференцирования.
^ Метод Эйлера

Заменяя в (1) производную в окрестности каждого i-го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:
(2)
Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окрестности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями).

Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополни­тельными условиями (начальными или краевыми) называют раз­ностной схемой. Таким образом, (2) — это разностная схема Эйлера.

Последовательные значения yi вычисляются по формуле
(3)
которая непосредственно следует из соотношения (2).

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интер­претацию. Искомая интегральная кривая у(х) на отрезке [а; b] приближается к ломаной (рис. 2), наклон которой на каждом элементарном участке [хi, хi+1 ] определяется наклоном инте­гральной кривой уравнения в точке (хi, уi).



Рис. 2. Интегральная кривая
Замечание. К этому же методу можно придти, заменяя производную в урав­нении (3) разностным отношением

Последовательные значения yi в этом случае вычисляются по формуле

Однако при этом возникают некоторые трудности, связан­ные с тем, что искомая величина yi входит в правую часть урав­нения, причем, в общем случае, нелинейным образом. Эти труд­ности непринципиальны, достаточно вспомнить о методах реше­ния нелинейных уравнений.

Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближенного решения в очередном i-м узле

Такого рода методы, в которых для вычисления приближен­ного решения в очередном i-м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), на­зываются неявными методами. В противоположность этому мето­ды, в которых приближенное решение в очередном i-м узле явно выражается через предыдущие значения уi-1, уi-2, ..., называются явными методами. При этом, если для вычисления yi использу­ется только одно предыдущее значение ум, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений — многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рис. 3).



Рис. 3. Начальный шаг метода Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение у' = f(x, у). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближенных значений функции у = у(х), удовлетворяющей заданным начальным условиям

x

x1

x2

x3

x4

x5

x6



xn

y

y1

y2

y3

y4

y5

y6



yn


где хi = х0 + ih, h = шаг таблицы.

Приближенно можно считать, что правая часть в y'=f(x, у) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле

y – y0 = f(x0, y0)(x-x0), y = y0 + f(x0, y0)(x-x0);
если x = x1, то
y1 = y0 + f(x0 ,y0)(x1-x0), y1 = y0 + hf(x0 ,y0) y0 = hf(x0, y0);
если x = x2, то
y2 = y1 + f(x1, y1)(x2-x1), y2 = y1 + hf(x1, y1) y1 = hf(x1, y1), …
если x = xi+1, то
yi+1 = yi + hf(xi, yi) yi = hf(xi, yi).
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул
yk = hf(xk, yk), yk+1 = yk+yk,
где k = 0, 1, 2, ..., n.

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [xi; xi+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рис. 4, 5).



Рис. 4. Интегральная кривая Рис. 5. Касательная к кривой
Пример 1. Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение

у' = у-х

с начальными условиями х0 = 0; y0 = 1,5 на отрезке [0; 1,5] при h = 0,25.
Решение

i

хi

yi





1

2

3

4

5

0

0

1,5

1,5

0,375

1

0,25

1,875

1,625

0,406

2

0,5

2,281

1,781

0,445

3

0,75

2,726

1,976

0,494

4

1

3,22

2,221

0,555

5

1,25

3,775

2,525

0,631

6

1,5

4,407








По начальным данным заполним первую строку в столбцах (2) и (3).

Из уравнения =уi – хi вычисляем (i=0, 1, 2, ..., 5) в столбце (4).

К содержимому столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки (вычисляем уi+1 = уi+ уi), и результат записы­ваем в столбец (3) следующей строки. Определяем xi+1=xi+h и затем шаги повторяем до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconВопросы к зачету
Модифицированный метод Эйлера при решении обыкновенных дифференциальных уравнений

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconВопросы к экзамену по курсу дифференциальных уравнений
Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconЧисленнное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Оду называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде оду первого порядка...

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconКурсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:...
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconПодготовить ответы на вопросы!!!!
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы...

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconПрограмма экзамена по математике для специальностей атп, томп
Основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения...

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconРешение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения»
Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге Кутта iconИсследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики
Дифференциальное уравнение является математическое уравнение для неизвестной функции одного или нескольких переменных, что касается...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов