Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений




Скачать 133.72 Kb.
НазваниеТригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений
Дата публикации24.02.2014
Размер133.72 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Формулы решения простейших

тригонометрических уравнений
Таблица 1.





sin x

cos x

tg x

ctg x

0

x = 

x = 

x = 

x = 

1

x = 

x = 2

x = 

x = 

1

x = –

x = 

x = –

x = –




 z

 z

 z

 z


Примеры


1. sin2x · sinx = 0

2. cos23x – 5 cos3x = 0

cos3x (cos3x – 5) = 0


sin 2x = 0

2x = 

x = 

sin x = 0

x = 

cos3x = 0

3x = 

x = 

cos3x – 5= 0

cos3x = 5

нет решений

Ответ: ,  z

Ответ: ,  z



Общие формулы решения

тригонометрических уравнений

Таблица 2.



sinx = 

cosx = 

tgx = 

ctgx = 


x = (-1)кarcsina+Пк

 z



x = 

 z


x = ,

 z


x = ,

 z


Примеры


1. 2sin3x = –1

2. 

sin 3x = 







,  z












x = ,  z



Формулы решения неполных квадратных

тригонометрических уравнений
Таблица 3.


sin2x = 

cos2x = 

tg2x = 

ctg2x = 


x = 

 z


x = пк±arccos
 z


x = ,

 z


x = ,

 z




Примеры


1. sin2x =

2. tg2x =3

x = 

x = 

x = ,  z

x = 

x = ,  z



Однородные тригонометрические уравнения


^ Однородное уравнение первой степени

Acosx + Bsinx = 0


Однородное уравнение второй степени

Asin2x + Bsinx cosx + Ccos2x= 0

Решаем путём деления обеих частей уравнения на sinx или cosx.

(x или x),  z

Решаем путём деления обеих частей уравнения на sin2x или cos2 x.

(x или x),  z

Примеры


1. 5sinx + 6cosx = 0




2. 2cos2x + 5sinxcosx + 3sin2x = 0

Делим обе части на cosx 0

5tgx + 6 = 0

5tgx = –6

tgx = –

x = 

x = ,  z




Делим обе части на cos2x 0

3tg2 x + 5tg x + 2 = 0

Пусть tgx = t, тогда 3t2 + 5t + 2 = 0

D = 25 – 24 = 1

;



tgx =; tgx = –1

x =  x = arctg(-1)

 z x =   z



Неоднородные тригонометрические уравнения
Asinx + Bcosx = C
Решаем путём деления обеих частей уравнения на ; сводим левую часть уравнения к теоремам сложения.
Пример
sinx + cosx = 1

A = 1, B = 1  = 

Делим обе части на













,  z
Знаки тригонометрических функций


















sinα




cosα




tgα, ctgα




















^ Пример:
Определить знак выражения .

Чётность, нечётность тригонометрических функций


Чётные




Нечётные




^ Общего вида















cos(–x) = cosx





sin(–x) = sinx

tg(–x) = –tgx

ctg(–x) = –ctgx

arcsin(–x) = –arcsinx

arctg(–x) = –arctgx







arccos(–x) = –arccosx

arcctg(–x) = –arcctgx



Примеры:

1. sin(–30°) = –sin30° = –

2. cos(–45°) = cos45° = 

3. tg(–45°) = –tg45° = –1

4. arcsin = –arcsin = –

5. arcos =  – arccos =  – .
Периодичность тригонометрических функций





sin() = sin

cos() = cos






tg() = tg

ctg() = ctg



Примеры:

1. sin 390° = sin30° = 

2. tg 240° = tg60° = 

3. sin 1110° = sin 30° =
Соотношения между тригонометрическими

функциями одного аргумента


sin2α + cos2α = 1




sin2α = 1 – cos2α




1 + ctg2α = 




cos2α = 1 – sin2α




1 + tg2α = 





















sinα = 




sinα = 




cosα = 




cosα = 






















tgα ctg α = 1






















Примеры:
1. Упростить:

2. 

3. sinα = 0,6 α  II четверти.
Найти cosα, tgα, ctg α.
Решение:

1. 

2. tgα = 

3. ctgα = .


Теоремы сложения




Формулы приведения

sin(α + β) = sinα cosβ + cosαsinβ

sin(α – β) = sinα cosβ – cosαsinβ

cos(α + β) = cosα cos β – sinαsinβ

cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ

tg(α + β) = 

tg(α – β) = 

сtg(α + β) = 

сtg(α – β) = 




1. а) Для углов название исходной функции сохраняется.

б) Для углов  ± α;  ± α название исходной функции меняется:

синус на косинус

косинус на синус

тангенс на котангенс

котангенс на тангенс.

2. Окончательный знак в выражении ставится тот, который имеет исходная функция (считают что αугол первой четверти.)


Примеры:

Упростить:


1. sinαcos2α + cosαsin2α = sin(α+2α) =

= sin3α

2. cos5αcosα + sin5αsinα =

cos(5α – α) = cos4α






1. sin135°=sin(90°+45°) = cos45°=



2. tg120°= tg(90°+ 30°) = -ctg 30° =

= - 



Формулы двойного аргумента

Выражение sinα, cosα и tgα через тангенс половинного аргумента

Формулы понижения степени

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2α – sin2α

tg2α = 

ctg2α = 

sinα = 

cosα = 

tgα = 





tg2 = 


Примеры:




1. 4sinαcosα = 2sin2α
2. 16sin4α cos4α · cos8α =

= 8sin8αcos8α = 4sin16α
3. cos28α – sin28α =

= cos16α


Вычислить:

1.  = sin45°=



2.  = cos30°= 


=

 =

 =




Преобразование произведений тригонометрических

функций в сумму и обратно




sinαcosβ = 

sinαsinβ = 

cosαcosβ = 

tgαtgβ = 

сtgαctgβ = 






sinα + sinβ = 2sin

sinα – sinβ = 2sin

cosα + cosβ = 2cos

cosα – cosβ = –2sin

tgα + tgβ = 

tgα – tgβ = 

сtgα + ctgβ = 

сtgα – ctgβ = 






Упростить:

sin5αcos3α = (sin8α + sin2α) =






sin3x + sin5x = 0

2sin4xcos(–x) = 0

sin4xcosx = 0

sin4x =0 cosx = 0

4x = k x = 

x =  nz

kz



Значения тригонометрических функций

для некоторых углов






0°(0 рад)

30°

45°

60°

90°


180°

270°


360°

sin

0







1

0

–1

0

cos

1







0

–1

0

1

tg

0



1





0



0

ctg





1



0



0



sec

1





2



–1



1

cosec



2





1



–1



Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconТаблица значений тригонометрических функций
Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что...

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconРешение уравнений
Итерационные методы решения интегральных уравнений, особенность частичной сходимости

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений icon4. численные методы
Эвм и в этом случае объем расчетов не имеет значения (до определенного предела). В основе алгоритмов лежат численные методы решения...

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconРешение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения»
Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconЛабораторная работа №1. Основные этапы создания программ (на примере...
Лабораторная работа №1. Основные этапы создания программ (на примере программы для решения квадратных уравнений) 2

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconКурсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:...
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconПрограмма экзамена по математике для специальностей атп, томп
Основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения...

Тригонометрия формулы решения простейших тригонометрических уравнений iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов