Краткий курс сопротивления материалов часть 1 Учебное пособие

4.2. Моменты инерции Моментом инерции называется характеристика, отличающаяся от статического момента тем, что координата входит в подынтегральное выражение в квадрате (рис.4.4). Моменты инерции бывают осевые или экваториальные – формула (4.6.), полярный – (4.7) и центробежный – (4.8). , . (4.6) Рис.4.4 . (4.7) . (4.8) Если начало координат совпадает с полюсом, то ρ2 = z2 + y2, следовательно Jρ = Jz + Jy. (4.9) Размерность моментов инерции – единица длины в четвёртой степени (например, см4). Отметим, что осевой и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным в зависимости от положения осей. Рис.4.5 Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут её главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой положительной величине zydF соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рис.4.5) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями. Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно главных центральных осей (рис.4.6,а). Оси z и y – главные, т.к. они являются осями симметрии, Jzy = 0. а б Рис.4.6 Для определения осевого момента инерции относительно оси z выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси z: dF = bdy, . Очевидно, что для определения Jy надо поменять местами стороны прямоугольника. Главные осевые моменты инерции прямоугольника , . (4.10) Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также осевой момент инерции относительно центральной оси. При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной dρ (рис.4.6,б) и подсчитаем по формуле (4.7) dF = 2πρdρ, . Полярный момент инерции круга . (4.11) Осевой момент инерции круга легко найти из выражения (4.9), учитывая, что в силу симметрии Jz = Jy . Следовательно, . (4.12) ^ 4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z1, y1 – a, b. Определить: моменты инерции относительно осей z1, y1 (рис.4.7). Рис.4.7 Координаты любой точки в новой системе z1Oy1 можно выразить через координаты в старой системе так: z1 = z + b, y1 = y + a. Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно: , . В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим Jz1 = Jz + 2 aSz + a2F, Jy1 = Jy + 2 bSy + b2F, (4.13) Jy1z1 = Jzy + aSy + bSz + abF. Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты Sz и Sy равны нулю и формулы (4.13) упрощаются: Jz1 = Jz + a2F, Jy1 = Jy + b2F, (4.14) Jy1z1 = Jzy + abF. Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z1, проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14) . ^ 4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным. Определить: моменты инерции фигуры относительно z1, y1. Рис.4.8 Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом: z1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α, y1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α. Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно: , , Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим: Jz1 = Jzcos2α + Jysin2α – Jzysin 2α, Jy1 = Jzsin2α + Jycos2α + Jzysin 2α, (4.15) . (4.16) Складывая формулы (4.15), получим: (4.17) Jz1 + Jy1 = Jz + Jy = const. Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим. ^ 4.5. Главные оси и главные моменты инерции Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, Juυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α0, чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим . (4.18) Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции Jz и Jy, а вместо касательных напряжений τzy – центробежный момент инерции Jzy. Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18): . (4.19) Полученные из (4.18) два значения угла α0 отличаются друг от друга на 900, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 450. Радиус инерции и момент сопротивления Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: , (4.20) где iz – радиус инерции относительно оси z. Из выражения (4.20) следует, что , . (4.21) Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции , . (4.22) Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси. Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления. Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см3). Для прямоугольника (рис.4.6,а) , , поэтому осевые моменты сопротивления , . (4.23) Для круга (рис.4.6,б), , поэтому полярный момент сопротивления . (4.24) Для круга , , поэтому осевой момент сопротивления . (4.25)

Похожие:

	Краткий курс менеджмент а. Большаков учебное пособие санкт-Петербург... Б79 Менеджмент / Учебное пособие. — Спб.: «Издательство "Питер"», 2000. — 160 с.: ил. — (Серия «Краткий курс»)		Краткий курс лекций по медицинской микробиологии, вирусологии и иммунологии... Рудаков Н. В. Краткий курс лекций по медицинской микробиологии, вирусологии и иммунологии. Часть Частная микробиология и вирусология:...
	Краткий курс лекций Часть 1 2012 Рекомендовано к изданию в качестве... Компьютерные информационные технологии. Краткий курс лекций: Ж. М. Анисимова, Л. И. Крошинская, Л. C. Черепица. – Минск: «бип – Институт...		Краткий курс грамматики английского языка учебное пособие для студентов Пособие состоит из 12 параграфов и приложений. Обширный языковой материал представлен в компактной форме, что позволит изучавшим...
	Краткий курс лекций по грамматике английского языка Утверждено Редакционно-издательским советом Краткий курс лекций по грамматике английского языка: Учеб. Пособие. Магнитогорск: мгту им. Г. И. Носова, 2001. — 71 с		Учебное пособие по дисциплине «Индустрия гостеприимства» Учебное пособие содержит конспекты лекций, составленные на основе различной учебной литературы, рекомендованной Министерством образования...
	Мареева Е. В. История философии (общий курс): Учебное пособие История философии (общий курс): Учебное пособие. — М.: Академический Проект, 2004. — 880 с. — («Gaudeamus»)		Культурология: общий курс учебное пособие Часть 1 Сущность понятия культура. Различные подходы в трактовке этого понятия
	Практикум по аналитической химии качественный анализ (часть I ) Учебное пособие для студентов Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального...		Исследование электрических цепей учебное пособие Часть III челябинск Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Теоретические основы электротехники» студентами энергетических...