Краткий курс сопротивления материалов часть 1 Учебное пособие
Скачать 0.84 Mb.
|
| ^ 2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах строительных конструкций и машин. Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к одному силовому фактору – продольной силе N, а все остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место центральное растяжение или сжатие. Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси. Рассмотрим растянутый стержень (рис.2.1). Передача сил Р на этот стержень может быть осуществлена различными способами: можно, например, отогнуть концы стержня и захватить его за образовавшуюся петлю, можно изготовить стержень с бортиками и передать усилия через выступ, можно нарезать резьбу, можно сделать отверстие и в отверстие вставить палец, словом, вариантов можно предложить много. Всем этим, отличающимся друг от друга конструкциям, может быть поставлена в соответствие одна и та же расчётная схема (рис.2.2). Это возможно благодаря справедливости принципа Сен-Венана, названному по имени предложившего его французского учёного, сыгравшего большую роль в создании сопротивления материалов и теории упругости в середине XIX века.  Рис.2.1 Принцип Сен-Венана утверждает следующее: особенности приложения внешних сил сказываются на расстоянии, не превышающем характерный размер поперечного сечения. Напряжения и деформации в стержне на достаточном удалении от мест захвата (равном характерному размеру поперечного сечения – диаметру d) будут одинаковы, если одинаковы приложенные силы. Применение принципа Сен-Венана позволяет существенно расширить общность основных расчётных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил. Для определения продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том, что стержень мысленно пересекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Продольная сила N равна сумме проекций на ось стержня сил, действующих по одну сторону от сечения. Сила N считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению). Рассмотрим расчётную схему стержня (рис.2.2). Стержень рассекаем сечением m-n и рассматриваем равновесие левой отсечённой части. Целесообразно неизвестную продольную силу N принимать положительной (растягивающей). Если при решении уравнения статики сила N получится со знаком “–“, то её направление надо поменять на противоположное и учитывать в дальнейшем расчёте, что стержень сжат. В нашем случае (рис.2.2.) получим N = P, т.е. стержень растянут: ∑x = 0, N – P = 0, N = P.  Рис.2.2. В более сложных случаях нагружения стержня имеет смысл строить график изменения продольных сил по длине, называемый эпюрой продольных сил. На рис.2.3 изображен брус, находящийся под действием внешних сил, направленных вдоль оси. Показана эпюра продольных сил.  Рис.2.3 При построении эпюры N рассматривали равновесие отсечённых частей на каждом из участков ℓ1, ℓ2, ℓ3 (рис.2.4).
Рис.2.4 Из рис.2.4 следует, что мы все время рассматривали равновесие правой отсечённой части. Это связано с тем обстоятельством, что мы не определили реакцию опоры R , которая относится к внешним силам. Если бы сначала нашли R из уравнения статики, можно было бы рассматривать равновесие и левой отсечённой части. Построив эпюру N, получили R = 10 кH (растяжение). С помощью построенной эпюры легко установить значение N, необходимое для расчёта на прочность. Так, в нашем примере получилиNmax = 50кН. Это значение не совпадает ни с одной из внешних сил. Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:  , (2.1)где σ – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF; F – площадь поперечного сечения бруса. Однако из формулы (2.1) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ по площади поперечного сечения. Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему взаимно перпендикулярных линий (рис.2.5), то после нагружения поперечные линии a-a, b-b, c-c, d-d переместятся параллельно самим себе.  Рис 2.5. Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса, – это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Выполняется гипотеза плоских сечений, впервые предложенная голландским учёным Д. Бернулли и широко применяемая в задачах сопротивления материалов: удлинения и напряжения во всех точках поперечного сечения бруса равны между собой, что позволяет в выражении (2.1) вывести величину σ за знак интеграла. Таким образом,  ,откуда  . (2.2)Итак, в поперечных сечениях бруса при его растяжении (или сжатии) возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения. ^ Для решения вопроса о прочности, в соответствии с принятым методом расчёта на прочность по допускаемым напряжениям и условием прочности (1.4), запишем это условие применительно к растянутому (сжатому) стержню.  , (2.3)где |Nmax| – максимальная по абсолютному значению продольная сила; F – площадь поперечного сечения стержня; [σ] – допускаемое напряжение. При решении задач сопротивления материалов [σ] всегда задано. При расчётах машин или конструкций Нормы расчёта дают указания по поводу назначения или расчёта [σ]. Формула (2.3) применима для стержня из материала, имеющего одинаковую прочность на растяжение и на сжатие (например, для стали). Но если материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию (например, чугун) для расчёта на прочность необходимо учитывать знак продольной силы и записывать два условия прочности  ,  , (2.4)где Nmax – наибольшая (растягивающая) продольная сила; Nmin – наименьшая (сжимающая) продольная сила; [σ+] и [σ-] – допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие соответственно. Значение N, входящее в условие прочности, определяется предварительно по эпюре N (рис.2.3.) или из расчёта статического равновесия конструкции. Рассмотрим пример. Необходимо определить размеры поперечного сечения стержней кронштейна, удерживающего нагрузку P = 100 кН (рис.2.6). Стержень №1: стальной, круглый, [σ] = 160 МПа; стержень №2: деревянный, квадратный, [σ] = 12 МПа.  Рис.2.6 Сначала найдём усилия в стержнях. Для такой системы можно записать два уравнения статики: ∑ х = 0: – N2 – N1cos α = 0, ∑ y = 0: – P + N1sin α = 0.  .Из уравнения ∑ y = 0 найдём  .Из уравнения ∑ х = 0 найдём N2 = – N1cos α = – 166,7 ∙ 0,8 = – 133,3 кН. Из условия прочности  найдём площади поперечного сечения стержней ,  .При расчётах прочности величину допускаемого напряжения, заданную в МПа, перевели в кН/см2: 160 МПа = 16 кН/см2 и 12 МПа = 1,2 кН/см2. Теперь осталось определить размеры поперечных сечений.
^ Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.  Рис.2.7 ℓ – длина стержня до приложения нагрузки; ℓ1 – длина стержня после приложения нагрузки; b – поперечный размер до приложения нагрузки; b1 – поперечный размер после приложения нагрузки. Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ1 – ℓ. Абсолютная поперечная деформация ∆b = b1 – b. Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ  . (2.5)Аналогично находятся поперечные деформации  . (2.6)При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной. ε′ = – νε. (2.7) Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении  . (2.8)Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0. Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука: σ = Еε. (2.9) Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2...2,2)105 МПа или Е = (2...2,2)104 кН/см2. Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5) , получим выражение для абсолютной деформации  . (2.10)Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии. Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века. Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически  . (2.11)Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле  . (2.12)В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости  , (2.13)где ∆ℓ – изменение размеров детали; [∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения. Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность. ^ Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила Nx в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е. Nx = γFx, (2.14) где γ – объёмный вес материала стержня.  . (2.15)Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:  .Получили выражение для произвольного сечения стержня  . (2.16)При х = ℓ перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня  . (2.17)На рис.2.8,в,г,д приведены графики Nx, σх и ux а б в г д  Рис.2.8 Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:  .Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому  . (2.18)Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а). Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают. ^ вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности. ^ Мы рассмотрели два примера, в которых внутренние усилия в стержнях определялись из уравнений статики. Это были статически определимые системы. ^ называются системы, у которых число неизвестных реакций (число внутренних силовых факторов) равно числу уравнений статики. Рассмотренные конструкции легко можно переделать – с целью повышения прочности установить дополнительную опору или дополнительный стержень (рис.2.9). а б  |
Похожие:
 | Б79 Менеджмент / Учебное пособие. — Спб.: «Издательство "Питер"», 2000. — 160 с.: ил. — (Серия «Краткий курс») | | Рудаков Н. В. Краткий курс лекций по медицинской микробиологии, вирусологии и иммунологии. Часть Частная микробиология и вирусология:... |
| Компьютерные информационные технологии. Краткий курс лекций: Ж. М. Анисимова, Л. И. Крошинская, Л. C. Черепица. – Минск: «бип – Институт... | | Пособие состоит из 12 параграфов и приложений. Обширный языковой материал представлен в компактной форме, что позволит изучавшим... |
| Краткий курс лекций по грамматике английского языка: Учеб. Пособие. Магнитогорск: мгту им. Г. И. Носова, 2001. — 71 с | | Учебное пособие содержит конспекты лекций, составленные на основе различной учебной литературы, рекомендованной Министерством образования... |
| История философии (общий курс): Учебное пособие. — М.: Академический Проект, 2004. — 880 с. — («Gaudeamus») | | Сущность понятия культура. Различные подходы в трактовке этого понятия |
| Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального... | | Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Теоретические основы электротехники» студентами энергетических... |