Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие




Скачать 195.46 Kb.
НазваниеНиворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие
Дата публикации21.08.2013
Размер195.46 Kb.
ТипЗадача
zadocs.ru > Математика > Задача




РАЗДЕЛ 1: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Литература:


  1. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.

  2. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.

  3. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192 с.

  4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

  5. Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
^ 1 вопрос. Предмет теории вероятностей.

2 вопрос. Основные понятия и определения теории вероятностей.

3вопрос. Классификация событий.

4вопрос. Классическое определение вероятности события.

^ 5вопрос. Свойства вероятностей.

6 вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.

Событие обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита: А, В, С, D, E и т.д.
- достоверное событие

Ø – невозможное событие

Ā – событие, противоположное событию А

4 вопрос. Классическое определение вероятности события
Вероятностью появления случайного события А называется отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех благоприятствующих и не благоприятствующих исходов (шансов) (или к общему числу всех равновозможных, единственно возможных и несовместных элементарных исходов).


Классическое определение было сформулировано Лапласом в XV11 веке .

5 вопрос. Свойства вероятностей.
1 .0 ≤ Р(А) ≤ 1

2. P(Ω)=1

3. P(Ø)=0

6 вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.
Относительная частота появления события А определяется формулой:


^ Статистическая вероятность определяется эмпирически по результатам опытов следующим образом:


P*(A) ≈ P(A)
ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
^ 1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.

2 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события.

3 вопрос. Формула полной вероятности.

4 вопрос. Вычисление вероятностей гипотез. Формула Байеса.

^ 5 вопрос. Формула Бернулли. Повторные испытания.

6 вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшие) число появлений событий.


1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.
Произведением нескольких событий A1,A2,…,An называется событие Е, состоящее в их совместном наступлении: Е=А123*...*Аn
Если речь идет о 2-х событиях А и В, то А и В=и А и В =А*В=Е. (АВ)
Принцип Лапласа: А+В= или А или В или А*ВВ).
Если А и В - несовместные события, то А и В = А*В=Ø.
Разность - А\В

Дадим геометрическую интерпретацию основных действий над событиями с помощью диаграмм Вена.



















1. А




2. В




3. А+В




АВ


















5.




6.




7. А-В=А




8. В-А=В




















9.




10.














Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

  1. А+В=В+А – коммутативность сложения

  2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения

  3. АВ=ВА – коммутативность умножения

  4. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность умножения



Вероятность суммы несовместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Вероятность суммы совместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).
Сумма вероятностей событий, образующую полную группу, всегда равна 1. Если события А1,А2,…,Аn образуют полную группу, то Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1 или
Сумма вероятностей противоположных событий Р(А)+Р(Ā)=1

Вероятность произведения 2-х независимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*Р(В).
Вероятность произведения 2-х зависимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А)
Вероятность произведения нескольких зависимых событий -

P(A1*A2*A3….An)= P(A1)*PA1(A2)*PА1А2(A3)…
2 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события
Для независимых событий в совокупности - P(A)=1 - P1)*P2)…Pn)
Если события А1, А2,..., Аn - зависимые в совокупности, то

Р(А)=1 – Р(Ā1)*РĀ1(Ā2)*Р Ā 1 Ā2(Ā3)*…*Р Ā1 Ā2 Ā3…Ān-1(Ān)

Пример: Два студента сдают экзамен. Первый выучил 20 из 30 вопросов , а второй 25 из 30. Какова вероятность того, что: а) оба студента сдадут экзамен, б) хотя бы 1 студент сдаст экзамен .

Решение : 1 . Обозначим события : А - 1-й студент сдал экзамен;

В - 2-ой студент сдал экзамен;

С - оба сдадут экзамен;

D - хотя бы 1 студент сдаст экзамен.

2. Определим вероятности:

P(A)=M/N=20/30=0,67 ; P(B)=M/N=25/30=0,83

а) Т.к. А и В независимые события, то Р(С) = Р(А*В) = 0,67 * 0,83 = 0,5561

б) P(D) = 1-Р(Ā)*Р()= 1-0,33*0,17 = 0,9439, где Р(Ā) = 1 - Р(А) = 1-0,67 = 0,33

P() = 1 – P(В) = 1-0,83 = 0,17

3 вопрос. Формула полной вероятности
Н1,Н2,...,Нn, - гипотезы
Формула полной вероятности.


Пример: При слиянии акционерного капитала двух фирм, аналитики фирмы, которая получает контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Аналитики полагают, что шансы на уход в отставку председателя составляют 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки.

Решение : 1. Обозначим событие А - успех сделки;

2. Обозначим гипотезы: Н1 - председатель уйдет в отставку, H2 - председатель не уйдет в отставку.

3. Определим вероятность события А :


Гипотезы Нi

^ Вероятности гипотез Р(Нi)

Условные вероятности РНi(А)

Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А)

Н1

0,7

0,65

0,455

Н2

0,3

0,3

0,09

Сумма

1

---

Р(А)=0,545


Или по формуле:
4 вопрос. Вычисление вероятностей гипотез . Формула Байеса.
H1,H2,...,Hn, - гипотезы
Условные вероятности РA1),РA2),...,РAn).
Формула Байеса:


Пример: Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подражает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого экономического роста - 0,2. Предположим что доллар подорожал в течение текущего периода. Чему в таком случае равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста.

Решение : 1 .Определим событие А - доллар подорожал;

2.Определим гипотезы Н1 - активный экономический рост

H2 - умеренный экономический рост

Н3 - низкий экономический рост.

3. Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей найдем Pa(H1):



Тот же результат можно получить, используя таблицу следующего вида:


Гипотезы Нi

^ Априорные вероятности гипотез Р(Нi)

Условные вероятности РНi(А)

Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А)

Апостериорные вероятности

РАi)

Н1

0,3

0,7

0,21



Н2

0,5

0,4

0,20



Н3

0,2

0,2

0,04



Сумма

1

---

Р(А)=0,45

1



5 вопрос. Формула Бернулли . Повторные испытания
Серия n -независимых испытаний
Вероятность постоянна и равна р (0<р<1)
Рn,m
Формула Бернулли ,

Пример: Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадает 4 раза?

Решение: по условию n=10, m=4, р=0,5, q=0,5


6 вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшие) число появлений события
Наивероятнейшее число определяется по формуле:
npqm0 ≤ пр + р ,

Пример: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производиться 8 выстрелов по цели. Каково наивероятнейшее число попаданий в цель в таком случае?

Решение: 1. По условию имеем n = 8, р = 0,7, q = l-p=1 - 0,7 = 0,3

2. пр - q ≤ т0 ≤ пр + р .

8*0,7-0,3 ≤ m0 ≤ 8*0,7 + 0,7

5,3 ≤ т0 ≤ 6,3

т.к. пр - q = 5,3 - дробное число, то m0=6
ТЕМА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1 вопрос. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ).

2 вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения ДСВ, ее свойства.

^ 3 вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

4 вопрос. Числовые характеристики ДСВ. Ожидаемое значение ДСВ. Свойства математического ожидания ДСВ.

^ 5 вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ. Свойства дисперсии.

6 вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения НСВ.

^ 7 вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.

8 вопрос. Числовые характеристики НСВ.

^ 9 вопрос. Моменты случайных величин.


1 вопрос. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ).
Примеры случайных величин:


Эксперимент

Случайная величина Х

Возможные значения СВ

Контроль качества 70 деталей

Число бракованных деталей

0, 1, 2, 3, …, 70

Строительство жилого дома

Процент завершенного строительства



Проверка степени загрузки операционного отдела банка

Число посетителей в течение дня

1, 2, 3, …, n

Торговля автомобилями

Число продаж в течение месяца

1, 2, 3, …, n



Случайные величины обозначаются заглавными буквами: X;Y;Z.

2 вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения ДСВ, ее свойства.
Р(Х=х)

Например, Р(Х=5)=0,2

Более короткая запись: Р(х) вместо Р(Х=х) или Р(5)=0,2.

Если обозначить возможные значения ДСВ Х через х1, х2, …, хn, а через рi=Р(Х=хi) вероятность появления значений хi , то ДСВ полностью определяется таблицей:


хi

х1

х2



хn

рi

р1

р2



рn

Условия: 1. Р(х)≥0

2. ∑ Р(х) = 1 (или∑pi=1)


^

Интегральная функция распределения



F(x)=P(X≤x)=


Р
1



р1 + р2

р1




х1 х2…..хn х




3 вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина X принимает значения: x1,x2,..., xn с вероятностями p1, р2, ..., рn, а случайная величина Y принимает значения у1, у2.., уm с вероятностями q1, q2,..,qm.
Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. сХ: cx1, cx2, ...,схn

2. X2 : x12,x22,...,xn2

3. X±Y : xi±yj (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

pi qj

4. X*Y: xi*yj (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

piqj.

4 вопрос. Числовые характеристики ДСВ. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.
Математическое ожидание ДСВ Х:


Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. М(с)=с

2. М(сХ)=сМ(Х)

3. M(XY)=M(X)M(Y)

4. M(XY)=M(X)M(Y)

5. М(Хс)=М(Х) с

Следствие. М[Х-М(Х)]=0

6. М(Х)=М(Хi).

5 вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ. Свойства дисперсии.
Дисперсия ДСВ:


Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. D(c)=0

2.D(cX)=c2D(X)

3. D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4. Если X1,X2,...,Xn. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ2, то дисперсия их суммы равна n σ2, а дисперсия средней арифметической равна σ2/n ,т.е. D(X)=σ2/n

5. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2, где

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии:




6 вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения НСВ.
Функция распределения F(x)
F(x) = Р(Х < х)
Свойства F(x)

1. 0 ≤ F(Х) ≤ 1

2. F(x2)≥ F(x1) если х2 > x1

Следствие 1. P(α<X<β) = F(β) – F(α)

3. F(X)=0 при Х ≤ α и F(X) = 1 при X>β.

^

График функции распределения для непрерывной случайной величины





F(x)
F(x)=1

1


F(x)=0




x


7 вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.
f(x)=F`(x).
Свойства дифференциальной функции f(x)

1. f(x)≥0

2.

^

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал




Связь функции распределения с плотностью распределения





8 вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание НСВ:


Дисперсия НСВ:


Для дисперсии НСВ справедлива формула:

σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2, где
Пример:

Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:

Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)

Решение:

1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:

2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):

1 способ.

P(α<x<β) = F(β) – F(α)

P(2 = F(4) – F(2) =

2 способ.




3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ


По формуле найдём дисперсию НСВ


^ Вычислим дисперсию по формуле σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2,найдя вначале M(X2)

Теперь σ2=D(X)=18 – 42= 2 кв. ед.
4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.

F(x)
F(x)=1

1


F(x)=0

0 6 x

Рисунок 1.

f(x)


1/3



f(x)=x/18 P(2



f(x)=0 f(x)=0




0 2 4 6 x

Рисунок 2.



9 вопрос. Моменты случайных величин
Начальные моменты k-го порядка


ДСВ

НСВ







Центральные моменты k-го порядка


ДСВ

НСВ





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconУчебное пособие для студентов факультета математики и компьютерных наук
Учебное пособие, охватывающее 16 практических занятий по теории вероятностей, является результатом многолетнего опыта преподавания...

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconЮ. Н. Миронкина методические указания по оцениванию параметров
Методические указания предназначены для выполнения типового расчёта по оцениванию параметров и проверке гипотезы о нормальном распределении...

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема Вероятностное пространство. Операции над событиями. Свойства вероятности

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие icon01. 01. 05 «Теория вероятностей и математическая статистика»
...

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconУчебное пособие по дисциплине «статистика»
Учебное пособие по дисциплине «Статистика» для студентов специальности 080504. 65 Государственное и муниципальное управление/ И....

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconУчебное пособие для выполнения практических и контрольных работ по...
Теория вероятностей": Учебное пособие для выполнения практических и контрольных работ по курсу "Математика", "Элементы высшей математики"...

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Математическая статистика»
Т338 Математическая статистика: Методические указания и контрольные задания/ Сост. Н. А. Кучанская. – Вологда–Молочное: иц вгмха,...

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconСборник задач по теории вероятностей и основам теории массового
Д. т н проф. Рябко Б. Я. Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания. 2010, с. 76

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconМетодические указания Основы теории можно изучить, например, по следующим учебным пособиям
В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Выс шк.–1970

Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие iconУчебное пособие. /Под ред. Б. В. Личмана. Екатеринбург: Изд-во “св-96”,...
История России. Теории изучения. Книга первая. С древнейших времен до конца XIX века. Учебное пособие. /Под ред. Б. В. Личмана. Екатеринбург:...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов