Матрицы и действия над ними




Скачать 88.53 Kb.
НазваниеМатрицы и действия над ними
Дата публикации09.03.2014
Размер88.53 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Матрицы появились в середине XIX века в связи с практической потребностью решения различного рода задач, прежде всего связанных с исследованием систем линейных уравнений.
Матрицей называется прямоугольная таблица вида

состоящая из m строк и n столбцов. Элементами матриц могут быть различные объекты (числа, функции и т.п.); мы ограничимся знакомством с некоторыми прстейшими операциями над числовыми матрицами.
Матрица имеет, как уже указывалось, m строк и n столбцов, говоря иначе m?n. Числа m и n могут быть любыми натуральными. Различают несколько особых случаев:
1) m=1, n 1. Матрица в этом случае называется матрицей - строкой и имеет вид

2) m 1, n=1. В этом случае матрица имеет вид
и называется матрицей - столбцом;
3) Если m=n, то матрица называется квадратной (порядка n). В квадратной матрице выделяют главную диагональ (элементы, расположенные "на диагонали", проведенной из левого верхнего в правый нижний угол) и побочную диагональ (элементы, расположенные "на диагонали", проведенной из правого верхнего в левый нижний угол);
4) Если все элементы матрицы равны 0, то такая матрица называется нуль - матрицей и обозначается .
Часто для краткой записи матрицы употребляют обозначение
Индексы i и j определяют "адрес" элемента (как ряд и место в кинозале). Например, символ означает, что этот элемент находится во второй строке и в третьем столбце матрицы.
Преобразование матрицы, заключающееся в замене ее строк столбцами, называется транспонированием. Другими словами, если

то транспонированной к A матрицей будет матрица A’
.
Легко видеть, что матрица - строка транспонируется в матрицу - столбец и наоборот, порядок (m×n) матрицы при транспонировании меняется на обратный (n × m), а "двойное" транспонирование дает ту же самую матрицу
(A ’)’= A.
Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если все ее элементы, кроме, может быть, элементов главной диагонали равны нулю. Таким образом, матрица

будет диагональной.
Диагональная матрица называется единичной, если все ее диагональные элементы равны 1, т.е.
.
Единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, так же как нуль - матрица - матричный аналог нуля.
Квадратная матрица, сохраняющая свой вид при транспонировании, называется симметрической. Для симметрической матрицы справедливо соотношение
A’=A.
В симметрической матрице элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали одинаковы. Симметрической будет, например, любая диагональная матрица.
Перейдем к определению основных операций над матрицами.
Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны между собой.
Например, матрицы и отвечают данному определению и являются равными A = B. Матрица не равна ни матрице A, ни матрице B, хотя она имеет те же размеры, что и A и B и состоит из тех же элементов.
Произведением матрицы A на некоторое действительное число m называется матрица
mA составленная из элементов матрицы A, умноженных на число m.
Из определения вытекает, что, во-первых, матрицы A и mA имеют одинаковый порядок и, во-вторых, что если все элементы некоторой матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за матричные скобки. Например,

Операция умножения матрицы на число подчиняется следующим простым законам:
mA = Am;
(mn)A = m(nA) = n(mA);
0A = O;
(mA) ’ = mA ’.
Суммой двух матриц A и B одного и того же порядка называется матрица C, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.
.

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
1) A + B = B + A(коммутативность);
2) (A+B)+C= A+ (B + C)(ассоциативность);
3) m(A + B) = mA + mB (дистрибутивность по отношению к умножению на действительное число);
4) O + A = A ;
5) (A + B)’ = A ’ + B’ .
Последней операцией над матрицами, которую мы рассмотрим в данном разделе, будет умножение матриц. Вначале сформулируем предварительное понятие.
Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Таким образом, если порядок матрицы A равен m × n , то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен n × k (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы). Перемножать можно только согласованные матрицы.
Произведением двух согласованных матриц A и B называется матрица C, элементы которой расчитываются по формуле

Например, если требуется получить элемент , то нужно вторую строку матрицы A "умножить" на первый столбец матрицы B. Рассмотрим конкретные матрицы
и .
Число столбцов матрицы A и число строк матрицы B равны 2, значит, A и B согласованы. Тогда
.
Найти в этом случае произведение BA невозможно, т.к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что операция умножения матриц, вообще говоря, не коммутативна. Можно показать, что в общем случае даже когда произведения AB и BA определены, коммутативность не выполняется.
Пусть A - матрица - строка из 3-х элементов, а B - матрица - столбец из 3-х элементов. Тогда A и B согласованы и, в результате умножения A на B получится число. Матрицы B и A также согласованы, но в результате их умножения получится квадратная матрица 3-го порядка.
Вместе с тем встречаются квадратные матрицы одного порядка, для которых выполняется коммутативность. Такие матрицы называются коммутирующими.
Отметим другие свойства умножения матриц.
1) Умножение матриц ассоциативно: (AB) C = A (BC) .
2) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения:
(A + B) C= AC + BC.
3) Умножение матриц коммутативно относительно умножения на действительное число:
m(AB) = (mA) B = A (mB).
4) Произведение двух матриц может быть нуль - матрицей, хотя ни один из сомножителей нуль - матрицей не является. Например,
.
Таким образом, умножение двух матриц обладает некоторыми свойствами, не характерными для умножения чисел, поэтому при действиях с матрицами нужно проявлять осмотрительность и аккуратность.


Определитель.

Рассмотрим произведение элементов квадратной матрицы n*n, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В этом произведении ровно n сомножителей. Очевидно, что таких произведений можно выписать ровно n!. Для каждого из этих произведений выпишем таблицу: номера строк, откуда эти элементы взяты, а под ними номера столбцов для этих же элементов. Мы получим таблицу перестановки n натуральных чисел. Действительно, и сверху, и снизу стоят номера от 1 до n, но переставленные. Сосчитаем количество инверсий в такой таблице перестановки. Если число инверсий четное, то произведение оставим таким как есть. Если нечетное, то умножим произведение на (-1). В результате такой «обработки» половина из произведений поменяет знак. Назовем полученные произведения слагаемыми определителя. Определителем квадратной матрицы называется сумма всех его n! слагаемых.
Рассчитывать определитель на основании его определения (кроме 2 порядка) – самый трудоемкий способ расчета определителя.
Определитель надо рассчитывать на основании его свойств.

Что такое минор матрицы. Что такое алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы.
Рассмотрим прямоугольную матрицу m×n. Выделим в этой матрице k различных строк и столбцов, причем 1≤ k ≤ min(m,n).
Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.
Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы A.
Можно было бы доказать, что число всех миноров k-го порядка данной матрицы равно . В частности, число миноров 1-го порядка для матрицы m×n равно , т.е. совпадает с общим числом элементов матрицы.
Если в выделенную квадратную матрицу порядка k включены строки и столбцы заданной матрицы A, имеющие одинаковые номера, то соответствующий минор k-го порядка называется главным.
ПРИМЕР. Дана прямоугольная матрица
.
Выписать все возможные миноры этой матрицы.
Решение. Поскольку min(3,2)=2, то старший порядок миноров равен 2. В данной матрице имеется 6 миноров 1-го порядка - это просто ее элементы. Общее число миноров 2-го порядка равно . Запишем их:
.
Среди этих миноров первый минор - главный.
При вычислении определителя квадратной матрицы n-го порядка нам понадобится находить миноры (n - 1)-го порядка. В квадратной матрице вычеркнем все элементы i-й строки и j-го столбца. Оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу (n - 1)-го порядка, ее определитель представляет собой минор (n - 1)-го порядка. Так как он однозначно определяется элементом , то называется минором, соответствующим элементу и обозначается .
^ Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы порядка n называется число, определяемое по формуле

Легко видеть, что если сумма индексов i +j - четное число, то алгебраическое дополнение совпадает с минором, если i +j - нечетное число, то минор и алгебраическое дополнение отличаются только знаком.
Пусть дан определитель (детерминант) порядка выше третьего. Зафиксируем i-ю строку (j-й столбец). Тогда определитель квадратной матрицы A равен

(или ).
Последнее выражение называется разложением определителя по элементам i-й строки (j-го столбца).
Определение: Пусть в матрице (не обязательно квадратной) существует минор порядка r не равный нулю. А все миноры порядка r+1 и выше либо не существуют, либо равны нулю. Тогда число r называется рангом этой матрицы.
Ранг матрицы показывает количество линейно независимых строк и количество линейно независимых столбцов матрицы.


Отметим некоторые свойства определителя.
1) Определитель квадратной матрицы не меняется при ее транспонировании.
2) Если поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель сменит знак на противоположный.
3) Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число λ, то определитель умножается на это же число. Общий множитель можно вынести из строки (столбца) за знак определителя.
4) Если все элементы определителя n-го порядка умножить на число λ, то определитель умножается на .
5) Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны 0, то определитель также равен 0.
6) Определитель, у которого все элементы двух и более строк (столбцов) соответственно пропорциональны (в частности, равны) равен нулю.
7) Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) определителя являются суммой двух слагаемых. Тогда имеет место равенство
.
8) Определитель не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
9)Пусть дан определитель (детерминант) порядка выше третьего. Зафиксируем i-ю строку (j-й столбец). Тогда определитель квадратной матрицы A равен

(или ).
Последнее выражение называется разложением определителя по элементам i-й строки (j-го столбца).

10) Определитель диагональной матрицы (равно как верхней треугольной, нижней треугольной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Определитель единичной матрицы равен единице.
Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0. В противном случае (det A ≠ 0) матрица A называется неособенной.
Аналогично тому, как на множестве действительных чисел каждому числу a≠0 соответствует единственное обратное число 1/a, так и на множестве квадратных матриц всякой неособенной матрице A соответствует единственная обратная матрица .
Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если

. (*)
Например, обратной по отношению к неособенной матрице является матрица . Действительно, в данном случае имеем:
.
Пусть A = E. Тогда согласно равенству (*) получаем . Поэтому матрица, обратная к единичной сама является единичной матрицей.
Пусть дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу можно двумя способами.
1. Элементы обратной матрицы находятся по формуле
,
где - алгебраические дополнения элементов . Матрица называется присоединенной к матрице A.
ПРИМЕР. Найти обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Поскольку det A=2, то существует обратная матрица . Сначала запишем транспонированную матрицу
.
Затем составим присоединенную матрицу A*, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A’ :

Теперь по формуле получим искомую матрицу
.
Правильность вычислений можно проверить, используя равенство .


2. Обратную матрицу можно (и лучше) найти методом Жордана-Гаусса.
Запишем матрицу A и справа к ней припишем единичную матрицу. Затем проделаем три шага вычислений по методу Жордана-Гаусса и, на месте единичной матрицы будет находиться обратная.

.
Обратная матрица находится в 3-м, 4-м и 5-м столбцах последней таблицы. Разумеется, она совпадает с обратной матрицей, полученной первым способом.
Сформулируем алгоритм метода Жордана-Гаусса.
1) На главной диагонали исходной матрицы в первой таблице выбирается направляющий элемент. Он может быть любым числом, кроме нуля. Строка, в которой выбран направляющий элемент, называется направляющей строкой, а соответствующий столбец - направляющим столбцом. Затем переходят к расчету следующей таблицы.
2) В следующей таблице сначала записывается направляющая строка, все элементы которой делятся на направляющий элемент. Таким образом, в новой таблице направляющий элемент будет равен 1.
3) Направляющий столбец заполняется нулями (кроме самого направляющего элемента, который, как уже было сказано, равен 1).
4) Все остальные элементы новой таблицы пересчитываются по так называемому правилу прямоугольника. Пусть, например, нужно пересчитать элемент , причем направляющий элемент - . Пересчет осуществляется по формуле
.
5) Элементы, участвующие в пересчете образуют как бы вершины прямоугольника, причем одна из его "диагоналей" содержит направляющий элемент и элемент, который пересчитывается.
6) Процесс продолжается до тех пор, пока вместо исходной матрицы не получится единичная.
7) Если на каком-то этапе выбрать направляющий элемент невозможно (он равен нулю), то обратной матрицы не существует (исходная матрица вырождена).
Метод Жордана-Гаусса является универсальным, т.к. используется не только для нахождения обратной матрицы, но и для решения систем линейных уравнений, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы и т.п.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Матрицы и действия над ними iconКалендарно-тематический план дисциплины высшая математика для I семестра 2011-2012
Понятие об определителях высшего порядка. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

Матрицы и действия над ними icon2. 1 Вопросы для самоконтроля к разделу: Матрицы. Операции над матрицами
Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителя. Теорема Лапласа. Свойства определителей

Матрицы и действия над ними iconСуммой двух матриц, например: a и B, имеющих одинаковое количество...
Понятие матрицы. Осн операции над матрицами. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Св-ва этих операций

Матрицы и действия над ними iconЭкзаменационные вопросы Введение в математический анализ
Множества и действия над ними. Основные числовые множества. Логическая символика

Матрицы и действия над ними iconВопросы к экзамену по линейной алгебре 2012г. Преподаватель: Авдеев Иван Федорович
...

Матрицы и действия над ними icon1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство...
Столбцов. Эл-ты м-цы – числа,составл м-цу. М-цы обознач прописными(загл.)б-ми лат алфав.,напр.: А,В,С а для обознач эл-тов м-цы исп...

Матрицы и действия над ними icon-
Ислама, над теми имамами, властителями, людьми, посвятившими себя Исламскому призыву, богобоязненными и праведными, которые последовали...

Матрицы и действия над ними icon-
Ислама, над теми имамами, властителями, людьми, посвятившими себя Исламскому призыву, богобоязненными и праведными, которые последовали...

Матрицы и действия над ними icon1: Матрицы и определители
Определение Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,...

Матрицы и действия над ними iconМожет ли быть равно 0 произведение двух ненулевых матриц?
Дать определения матрицы. Сформулировать правила выполнения линейных операций над матрицами, умножения матриц, транспортирования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов