Лабораторная работа №. Б-206

Определение момента инерции твердого тела

методом колебаний

²r/dt²,

Dt®0 Dt®0

При криволинейном движении вектор полного ускорения целесообразно разложить по двум составляющим — тангенциальному ускорению a_t , направленному по касательной к траектории в сторону изменения скорости, и перпендикулярному ему нормальному (центростремительному) ускорению a_n , направленному по радиусу к центру траектории.

Полное ускорение будет геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих a = a_t + a_n.

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости, а нормальное ускорение — за изменение направления скорости.

^ 4.Уравнения движения.

1) равномерное прямолинейное движение:

a = a_t = a_n = 0; v = const. s = vt.

2) равноускоренное прямо линейное движение:

a_n = 0; a = a_t = const. v = v₀ + at;

s = s₀ + v₀t + at²/2,

3) равномерное движение по окружности:

a = a_n = const. a_t = 0; v = const;

v = 2pR/T; a_n= v²/R = (2pR)²/RT² = (4p2R)/T²

4) равноускоренное движении по окружности

a_t = dv/dt = R.dw/dt = Re; a_n = v²/R = w²R;

a² = a_t² + a_n² = (dv/dt)² + (v²/R)² = R(e² + w²).

5. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.

При криволинейном движении удобнее использовать вместо линейных характеристик движения угловые:

а) угловое перемещение Dj, т.е. разница угловых координат начального и конечного положения точек,

б) угловую скорость w, т.е. изменение величины угла с течением времени (или первой производной от углового перемещения по времени),

в) угловое ускорение e, т.е. изменение величины угловой скорости с течением времени (или первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла по времени).

Рисунок 2-3-1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

w = lim(Dj/Dt) = dj/dt

Dt®0

w направлена вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Векторы, связанные с направлениями осей вращения, называются псевдо-векторами, и не имеют определенных точек приложения.

Если w = const, то вращение равномерное и характеризуется

периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует Dj=2p, то w=2p/T, откуда T = 2p/w.

Число полных оборотов, совершаемых при равномерном вращении, называется частотой вращения: n = 1/T = w/2p, откуда w = 2pn.

Вектор углового ускорения направлен так же по оси вращения. Тангенциальная составляющая ускорения a_t=dv/dt; v=wR и a_t=d(wR)/dt=Rdw/dt=Re.

Нормальная составляющая ускорения a_n = v²/R = w²R.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

s = Rj.

v = Rw,

a_t = Re,

a_n = Rw².

При равноускоренном движении по окружности все виды ускорений отличны от нуля, только

a_t = const.

w = w₀ + et;

j = j₀ + w₀t + (et²)/2.

Для частного случая криволинейного движения — движения по окружности радиуса R, угловые характеристики движения связаны с линейными характеристиками весьма просто:

Dj = Ds/R;

w = dj/dt = v/R;

e = dw/dt = d²j/dt² = a/R.

6. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

Причиной движения тел и изменения его характера с течением времени является взаимодействие тел. Сила, как количественная характеристика является мерой интенсивности взаимодействия тел. В механике сила является вектором: она задается величиной (модулем), направлением действия (вектором) и точкой приложения.

^ В механике действует принцип независимости сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил,

то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, по второму закону Ньютона, так как будто других сил не было. Поэтому, силы и ускорения можно разлагать на составляющие.
^ 7. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если равнодействующая всех сил действующих на это тело равна нулю.

^ Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая, ее инерциальные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.

Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения и является мерой механического воздействия на тело. Равнодействующей всех сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех сил, действующих на тело, F_рез. = SF_i.= 0.

Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на тело результирующей силе и обратно пропорционально массе тела. F_рез. = am = m(dv/dt) = d(mv)/dt = dp/dt.

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу. F₁₂ = - F₂₁.
8. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ.

Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: J = Sm_ir_i² (J = òr²dm),

где сложение производится по всему объему тела.
9. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J₀ относительно параллельной оси, проходящей через центр его масс, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния a² между осями: J = J₀ + ma².
10. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ.

Сплошной цилиндр (по оси) J = (mR²)/2

Полый тонкостенный цилиндр J = mR²

Шар радиусом R J = 2(mR²)/5

Рисунок 2-3-2. Моменты инерции некоторых твердых тел.

11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Сила F, действуя на тело совершает работу, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы, т.е. dA = dW. По второму закону Ньютона F = m(dv/dt) и умножив обе части равенства на dr, получим

Fdr = m.dv.dr/dt = dA и зная, что v = dr/dt, dA = mvdv/dt = dW.

Проинтегрировав уравнение, найдем, что кинетическая энергия равна W = (mv²)/2.
12. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ.

Кинетическая энергия вращающегося тела является суммой кинетических энергий его элементарных объемов W_k.вр. = Sm_iv_i²/2.

Заменяя линейные скорости на угловые, получим

W_k.вр. = (mw²r²)/2 = (mr²w²)/2 = (Jw²)/2,

где J - момент инерции (mr²) относительно оси z. Если тело участвует одновременно в поступательном и вращательном движениях, то энергия движения складывается из энергий двух этих движений.
^ 13. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.

Потенциальная энергия - это энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия тела массой m на высоте h над Землей W_n = mgh, где высота h отсчитывается от нулевого уровня, на котором W_n = 0. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий W = W_n + W_k.
14. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.

Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то W = W_n + W_k = const.

Энергия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
^ 15. МОМЕНТ СИЛЫ.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F: М = [r.F].

Здесь M - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

|M| = Fr. sina = F.l,

где l = r.sina - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой ее приложения (плечо силы).
^ 16. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ДЛЯ МОМЕНТОВ СИЛ.

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращательного движения, если равнодействующая всех моментов сил действующих на это тело равна нулю.

^ Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного вращательного движения называется инертностью.

Момент инерции — физическая величина, определяющая, ее инерциальные свойства при вращательном движении.

Под действием момента сил, тела изменяют свою угловую скорость.

Момент силы характеризуется величиной, направлением и является мерой механического воздействия на тело. Равнодействующей всех моментов сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех моментов сил, действующих на тело, М_рез. = SМ_i.= 0.

Угловое ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующему на тело результирующему моменту силе и обратно пропорционально моменту инерции. М_рез. = Iε = dL/dt.

Моменты силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу.

М₁₂ = - М₂₁.

Момент силы М₁₂, с которой первое тело действует на второе, равен по модулю моменту силы М₂₁, с которой второе тело действует на первое, но противоположен ей по направлению
^ 17. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Колебания бывают свободными, если они совершаются за счет собственной энергии при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшими колебаниями являются гармоническими. Если точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия в начале координат, то зависимость координаты от времени t задается уравнением

х = A_mcos(w₀t + j),

A_m - максимальное значение х (амплитуда колебания), w₀ - круговая (циклическая) частота, j - начальная фаза колебаний в момент времени t =0, (w₀t + j) - фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется от -1 до +1, то х принимает значения от - А до + А. Положения точки повторяются через промежуток времени Т (период), за который фаза колебаний получает приращение 2p.

w₀(t + T) = w₀t + 2p, откуда T = 2p/w₀.

Величина, обратная периоду колебаний, n = 1/T.

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Поэтому w₀ =2pn.

Поскольку скорость является первой производной по времени от координаты, а ускорение второй производной,

v = - Aw₀sin(w₀t + j) = Aw₀cos(w₀t + j + p/2).

a = Aw₀²cos(w₀t + j) = Aw₀ ²cos(w₀t + j + p).

Сила F = - am, действующая на точку массой m, будет равна F = -mw₀²x.

Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Кинетическая энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна W_кин. = mv²/2 = [mA₀²w₀²sin²(w₀t +j)]/2.

W_кин. = [mA₀²w₀² {1 - cos2(w₀t +j)}]/4.

Потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

W_пот. = - ₀ò^хFdx = (mw₀²x₀²)/2 = [mA₀²w₀²cos²(w₀t +j)]/2.

W_пот. = [mA₀²w₀²{1 + cos²2(w₀t +j)}]/4.

Сумма кинетической и потенциальной энергии дает полную энергию, которая остается постоянной. W_пол. = W_кин. + W_пот. = W_пот. = (mw₀²А₀²)/2,

19. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела. При его отклонении из положения равновесия на малый угол a, по уравнению динамики вращательного движения твердого тела, момент М силы

M = Je = Ja^// = F.l = - mglsina = - mgla.

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника,

^ F = - mgsina = - mga - возвращающая сила.

Ja^// + mgla = 0. или a^// + (mgla)/J = 0.

С учетом w = Ömgl/J получим уравнение a + wa = 0

решая которое получим a = acos(wt + j).

При малых колебаниях физический маятник совершает колебания с циклической частотой w и периодом T = 2p/w = 2pÖJ/(mgl).

Рисунок 2-3-3. Физический маятник.

Б. Методика и техника эксперимента.

Закрепленное на горизонтальной оси, колесо находится в безразличном равновесии. Если к ободу махового колеса прикрепить с помощью винта какое-либо тело небольших размеров, то безразличное равновесие системы заменяется устойчивым, т.е. колесо, выведенное из состояния равновесия, совершает колебания.

Прикрепим к колесу шарик радиуса r, диаметром d и массой m. Радиус колеса равен R, диаметр D.

Отклоним колесо от положения равновесия на малый угол j₀. Колесо станет совершать колебания по гармоническому закону с амплитудой j₀ и периодом Т. Уравнение движения будет иметь вид:



Угловая скорость вращательного движения колеса тоже будет изменяться по гармоническому закону:



Она принимает максимальное значение, равное ,

в те моменты времени, когда шарик находится в нижней точке траектории.

В крайнем состоянии I система обладает запасом потенциальной энергии вследствие того, что шарик поднят на высоту h:

.

В состоянии II эта система тел обладает кинетической энергией вращательного движения:

,

где J и J_ш - моменты инерции колеса и шарика относительно оси вращения О. По закону сохранения энергии имеем:

или .

Отсюда выразим момент инерции колеса: .

Шарик движется по окружности радиуса . Его момент инерции найдем по теореме Штейнера:

.

Выразим высоту h через угол отклонения колеса j₀. Из рисунка видно, что , откуда . Учитывая известное тригонометрическое соотношение и условие малости угла отклонения j₀, при котором , получаем:

. (5)

Подставив (4) и (5) в (3), получим: .

Если t - время полных n колебаний, то период равен . С учетом последнего выражения расчетная формула для момента инерции колеса принимает вид: . (6)



Анализ DI показывает, что по мере увеличения n абсолютная погрешность уменьшается, поэтому целесообразно выбрать n= 5-10

Контрольные вопросы. 3-1.

1. 
   Что такое поступательное движение?
   
2. 
   Что такое вращательное движение?
   
3. 
   Что такое скорость?
   
4. 
   Что такое тангенциальное, нормальное, полное ускорение?
   
5. 
   Запишите уравнение равномерного прямолинейного движения.
   
6. 
   Запишите уравнения равномерного и равноускоренного движения по окружности.
   
7. 
   Что такое угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение? Запишите уравнение углового движения?
   
8. 
   Что такое псевдо-вектор?
   
9. 
   Что такое период вращения?
   
10. 
    Как связаны между собой линейные и угловые величины?
    
11. 
    Что такое взаимодействие тел? Что такое сила?
    
12. 
    Что такое принцип независимости сил?
    
13. 
    Запишите законы Ньютона.
    
14. 
    Что такое масса тела? Какие бывают массы?
    
15. 
    Что такое моментом инерции?
    
16. 
    Запишите теорему Штейнера. Запишите моменты инерции простых тел.
    
17. 
    Что такое кинетическая энергия? Что такое кинетическая энергия вращающегося тела?
    
18. 
    Что такое потенциальная энергия?
    
19. 
    Что такое момент силы?
    
20. 
    Запишите законы Ньютона для вращательного движения.
    
21. 
    Чему равна работа при вращении абсолютно твердого тела?
    
22. 
    Что такое момент импульса? Запишите закон сохранения момента импульса.
    
23. 
    Что такое гармонические колебания? Запишите уравнение.
    
24. 
    Физический маятник?
    
25. 
    Что такое период колебаний?
    
26. 
    Что такое амплитуда колебания?
    

^

Порядок выполнения работы

1. 
   Вывести систему из положения равновесия, придав ей угловое смещение 30-40°, и предоставить ей возможность свободно колебаться.
   
2. 
   Измерить по секундомеру время n полных колебаний t. Известно, что по мере увеличения n погрешность измерений уменьшается. Однако при большом n колебания становятся затухающими, поэтому целесообразно выбрать n = 5-10 колебаний. Опыт повторить 5 раз.
   
3. 
   Произвести штангенциркулем однократное измерение диаметра d шарика.
   
4. 
   Произвести линейкой однократное измерение диаметра D колеса.
   
5. 
   Результаты измерений и погрешности измерительных приборов занести в таблицу.
   
6. 
   Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формуле (6) момент инерции колеса J и его погрешность DJ.
   

Основные формулы.


^

Таблица № 1.

№ Пп	t, с	n	Dtси, С	D. См	DDси, мм	d, мм	Ddси, мм	m, г
1
2
3
4
5

Таблица № 2.

N	tш, c	tк, c	Параметры
			Mш = ,кг Mк = ,кг c = ,м d = ,м
	Tш	tк	D =

Дата выполнения лабораторной работы.
Подпись Преподавателя.