1 коллоквиум




Скачать 82.94 Kb.
Название1 коллоквиум
Дата публикации03.04.2014
Размер82.94 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1 СЕМЕСТР

1 КОЛЛОКВИУМ

  1. Метод математической индукции

  2. Упорядочение области рациональных чисел. Сложение и вычитание рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел. Аксиома Архимеда. Определение иррационального числа. Упорядочение области вещественных чисел. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью. Непрерывность области вещественных чисел. Арифметические действия над вещественными числами, их свойства. Модуль, его свойства. Степень с рациональным показателем. Степень с любым вещественным показателем. Логарифмы. Измерение отрезков.

  3. Функции, класс элементарных функций. Обратные, сложные функции

  4. Числовые последовательности. Ограниченные и монотонные последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Бесконечно малые последовательности.

  5. Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах, связанные с неравенствами. Бесконечно большие последовательности, связь их с бесконечно малыми последовательностями. Существование предела монотонной ограниченной последовательности чисел.

2 КОЛЛОКВИУМ

  1. Предел функции в точке (по Гейне, по Коши, примеры). Предел функции при .

  2. Теорема об эквивалентности определений предела функции в точке по Гейне и по Коши.

  3. Односторонние пределы функции в точке, теорема о связи условия существования предела функции в точке с односторонними пределами.

  4. Непрерывность функции в точке, одностронняя непрерывность.

  5. Теорема об ограниченности функции, непрерывной в точке. Следствие (лемма о сохранении знака).

  6. Теоремы о сумме, разности, произведении, частном функций, имеющих предел в точке. Следствие о непрерывных функциях.

  7. Теорема о «зажатой» переменной.

  8. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Теорема о сумме, произведении бесконечно малых функций.

  9. Точки разрыва и их классификация.

  10. Теорема о пределе монотонной функции.

  11. Критерий Коши существования предела функции в точке.

  12. Первая теорема Вейерштрасса.

  13. Теорема Больцано-Коши.

  14. 1-ый и 2ой замечательный предел.

  15. 2-ой замечательный предел.

  16. Сравнение функций (О-символика).

  17. Сравнение бесконечномалых, эквивалентные функции.

  18. Метод выделения главной части и его применение к вычислению пределов.

3 КОЛЛОКВИУМ

  1. Производная функции в точке.

  2. Основные правила дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной. Скорость изменения функции

  3. Дифференцируемость и непрерывность.

  4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

  5. Приближенные вычисления.

  6. Основные теоремы дифференциального исчисления.

  7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

  8. Производные и дифференциалы высшего порядка.

  9. Формула Тейлора.

  10. Исследование функций и построение графиков.

2 СЕМЕСТР

1 коллоквиум.

  1. Первообразная, неопределенный интеграл, определение. Основное свойство первообразных.

  2. Свойства неопределенного интеграла, таблица формул интегрирования.

  3. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной.

  4. Методы интегрирования: метод подстановки, метод внесения под знак дифференциала. Интегралы вида .

  5. Метод интегрирования по частям. Интегралы вида .

  6. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов).

  7. Интегрирование рациональных функций (метод Остроградского).

  8. Интегрирование иррациональных функций: интегралы вида .

  9. Интегралы вида (подстановки Эйлера).

  10. Интегралы вида (подстановки Чебышева).

  11. Интегралы вида .

  12. Интегралы вида (универсальная тригонометрическая подстановка).

  13. Интегрирование тригонометрических выражений .

  14. Интегрирование трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям.

  15. Интегралы вида . «Неберущиеся» интегралы.

2 коллоквиум.

  1. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл Римана, необходимое условие его существования.

  2. Интегральные суммы Дарбу и их свойства.

  3. Критерий существования определенного интеграла.

  4. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции.

  5. Интегрируемость ограниченной функций с конечным числом точек разрыва.

  6. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.

  7. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами.

  8. Первая теорема о среднем значении.

  9. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, свойство непрерывности определенного интеграла с переменным верхним пределом как функции.

  10. Свойство дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом как функции.

  11. Вторая теорема о среднем значении.

  12. Существование первообразной функции от непрерывной функции. Связь определенного интеграла с неопределенным, формула Ньютона-Лейбница.

  13. Вычисление определенного интеграла заменой переменной.

  14. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям.




  1. Площадь криволинейной трапеции.

  2. Площадь криволинейного сектора.

  3. Длина дуги плоской кривой (способы задания: явный, в полярной системе координат, параметрический).

  4. Вычисление объема тела вращения по площади параллельных сечений.

  5. Площадь поверхности тела вращения.

  6. Приложение определенного интеграла к физике. Статические моменты, координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

  7. Приближенное вычисление интегралов. Формула прямоугольников. Оценка остаточного члена.

  8. Приближенное вычисление интегралов. Формула трапеций. Оценка остаточного члена.

  9. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона. Оценка остаточного члена.

  10. Несобственный интеграл (интеграл с бесконечными пределами интегрирования). Примеры.

  11. Несобственный интеграл (интеграл от неограниченных функций). Примеры.

  12. Признаки их сходимости несобственных интегралов (признаки сравнения).

  13. Признаки их сходимости несобственных интегралов (признак Абеля).

  14. Признаки их сходимости несобственных интегралов (признак Дирихле).


3 коллоквиум.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Функция, предел, непрерывность. Метрическое пространство. Линейное нормированное пространство. Евклидово п-мерное пространство. Обзор основных метрических и топологических характеристик пространства Rn, точечные множества пространства Rn. Сходящиеся последовательности точек в пространстве Rn . Открытые и замкнутые множества в пространстве Rn . Критерий компактности в пространстве Rn . Действительная функция n переменных как функция точек множества пространства Rn, ее график. Композиции функций, обратная функция. Предел функции в точке. Повторные пределы. Непрерывные функции нескольких переменных и их свойства. Равномерная непрерывность функции нескольких переменных на множестве, теорема Кантора.

2.Дифференцирование функции нескольких переменных. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Вычисление частных производных неявно заданных функций. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.

3.Экстремум функции нескольких переменных. Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума для функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в ограниченной замкнутой области. Условные экстремумы.

3 СЕМЕСТР

Ряды
1. Числовые ряды. Числовой ряд и его частичные суммы, сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Простейшие свойства сходящихся рядов. Остаток ряда. Необходимые условия сходимости числовых рядов. Гармонический ряд. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Положительные ряды, критерий их сходимости. Признаки сравнения положительных рядов. Признак Даламбера, радикальный и предельный признаки Коши, сходимости положительных рядов. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов в абсолютно сходящихся рядах. Теорема Римана о перестановках членов в условно сходящихся рядах. Операции над рядами.

2. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Функциональные ряды, область их сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов, признак Вейерштрасса. Предел равномерно сходящейся функциональной последовательности. Сумма сходящегося ряда непрерывных функций. Предельный переход под знаком интеграла. Почленное интегрирование функциональных рядов. Предельный переход под знаком производной. Почленное дифференцирование функциональных рядов.

3. Степенные ряды. Понятие степенного ряда, теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда, формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задачи разложения функции в степенной ряд, существование разложения функции в ряд Тейлора. Пример бесконечно дифференцируемой функции, неразлагающейся в степенной ряд. Признаки сходимости ряда Тейлора к функции, для которой он составлен. Разложение в степенные ряды элементарных функций. Оценка с помощью остаточного члена формулы Тейлора погрешности при замене функции многочленом. Применения рядов к приближенным вычислениям. Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью степенных рядов.

4. Ряды Фурье. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система. Ряды Фурье для периодических функций с периодом , с периодом . Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Сходимость ряда Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодических функций. Разложение кусочно-гладкой функции в тригонометрический ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Решение уравнения свободных колебаний струны с закрепленными концами методом Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1967, т. 1-2.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1979.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1982; ч.1; 1983, ч.2.

4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. - М.: Изд. МГУ, 1985, ч. 1-2.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1981, т. 1-2.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1 коллоквиум icon3 коллоквиум биология
Человек – объект генетических исследований. Классификация наследственных болезней человека, краткая их характеристика

1 коллоквиум iconГруппа ми-37, мн-39 Коллоквиум №4 преподаватель доц. Белоусова О. Е
Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками"

1 коллоквиум iconОборудование. Коллоквиум 3
Мастичные, которые выполняются преимущественно из порошкообразных материалов, при замешивании их водой готовится пластическая масса,...

1 коллоквиум icon14. Первый коллоквиум леч весенний семестр 2011 вопрос n радиоактивность...
Вопрос n радиоактивность самопроизвольное превращение ядер одних элементов в другие

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов