о в точках  величины  и a одинаковы. Следовательно, постоянными будут и числа  . Таким образом, соотношение  будет выполняться не только вдоль заданной характеристики, но и во всей области.
Следует отметить, что в рассматриваемом случае не только характеристика  будет прямолинейна в плоскости  ,  , но и другие характеристики 1-го семейства будут прямыми. Действительно, вдоль каждой такой характеристики согласно (4.27)  (на каждой свое  ), но, кроме того, во всей области выполняется . Таким образом, величины и  на характеристиках первого семейства будут связаны двумя алгебраическими соотношениями. Отсюда вследствие (4.26) и вытекает справедливость данного утверждения.
Вернемся к интегрированию системы уравнений (4.20), (4.21). Вычислив из соотношения  величину  и подставив ее в (4.21), находим
 (4.32)
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка эквивалентно следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
 (4.33)
Отсюда
или
Полагая  , находим
 (4.34)
И, кроме того,
(4.35)
Предположив аналогично, что на характеристике второго семейства величины скоростей частиц газа и скорости звука сохраняют постоянное значение, можно получить:
 (4.36)
 (4.37)
Подставляя в соотношения (4.34), (4.36) значения  и  из (4.35) м (4.37), можно получить:
  (4.38)
 (4.39)
Решение (4.38), (4.39) получено Риманом [2]. При этом решение (4.38) называется прямой волной одного направления, а решение (4.39) - обратной волной одного направления.
Если система координат выбрана так, что положительное направление оси х совпадает с направлением движения волны, то ее движение описывается соотношениями (4.38), а если волна бежит в обратном направлении, то пользуются соотношениями (4.39).
Отдельно следует отметить, что вторые соотношения решения (4.38) и (4.39) называются инвариантами Римана.
Известно, что общие решения двух дифференциальных уравнений в частных производных должны зависеть от двух произвольных функций. Полученные решения, зависящие от одной произвольной функции, представляют собой особые решения. Важным свойством решений (4.38), (4.39) является то обстоятельство, что движения, характеризуемые прямой и обратной волнами одного направления, могут сопрягаться с областью покоя или, в более общем случае, - с областью установившегося движения среды.
Соотношения (4.38), (4.39) используются при решении целого ряда задач.
Пусть, например, в трубе находится газ, подчиняющийся адиабате Пуассона  и ограниченный слева поршнем. В некоторый момент времени поршень начинает выдвигаться (двигаться справа налево), причем в начальный момент времени скорость поршня равна нулю, газ находится в покое. Требуется исследовать движение газа.
Поместим начало системы координат в точку, отвечающую положению поршня в момент покоя; ось  направим вправо. При выдвижении поршня образуется волна разрежения, распространяющаяся по газу в положительном направлении оси . Состояние покоя в начальный момент времени означает, что  , скорость звука  . Следовательно, в плоскости  характеристики первого семейства будут прямолинейны, рис 25. Характеристикой, отделяющей невозмущенную среду от области движения, является
 
При этом  , так как при  величина  .
 
Рис. 25. Семейство характеристик Рис. 26. Семейство характеристик
волны разрежения волны сжатия
Рассматриваемому случаю отвечает особое решение (4.38)
 ,
где  (из условия на характеристике, отделяющей невозмущенную среду и область движения).
Отсюда
 (4.40)
Функция  находится с помощью закона движения поршня. При движении поршня каждое его элементарное смещение порождает элементарное волновое возмущение разрежения, которое распространяется со скоростью  , причем вектор  направлен по ходу движения поршня.
Представленные на рис. 25. характеристики 1-го семейства могут быть записаны в виде
 (4.41)
В качестве величины на каждой из характеристик (4.41) можно взять скорость поршня  , то есть  . В этом случае  =  . Для каждого фиксированного значения  данное соотношение определяет прямую линию в плоскости  . При этом, чем больше величина  , тем меньше скорость распространения возмущений, так как  , и в плоскости получается веер расходящихся характеристик.
По мере увеличения скорости поршня разрежение за ним увеличивается и соответственно уменьшается скорость звука  , так как  . Если  , то  . В этот момент за поршнем образуется вакуум ( ). Следовательно, при скорости поршня  поршень отрывается от газа и никак уже не влияет на его движение - происходит «разлет газа в пустоту».
Пусть, наоборот, поршень ускоренно вдвигается в трубу, рис.26. При выбранной системе координат движение газа также описывается решением (4.38).
При таком движении каждое элементарное смещение поршня порождает элементарное волновое возмущение сжатия, которое распространяется слева направо со скоростью . При этом каждая последующая элементарная волна будет распространяться по более сжатому предыдущей волной газу, вследствие чего амплитуда волны будет возрастать.
В отличие от случая выдвижения поршня здесь  и, следовательно,  ,  . Видно, чем больше , тем больше величина скорости распространения возмущений  . Поэтому в плоскости получается веер сходящихся характеристик, которые, в конце концов, пересекутся, рис. 26.
Сходящийся пучок характеристик указывает на тенденцию формирования качественно нового физического процесса – ударной волны (поскольку вдоль каждой из них скорость остается постоянной, а в точке пересечения будет иметь место многозначная функция  ). Условия возникновения ударных волн рассматриваются в следующем параграфе.
13. Использование решения Римана для описания процессов разрежения и сжатия в трубе. Формирование ударной волны
В трубе находится газ, подчиняющийся адиабате Пуассона и ограниченный слева поршнем. В некоторый момент времени поршень начинает выдвигаться (двигаться справа налево), причем в начальный момент времени скорость поршня равна нулю, газ находится в покое. Требуется исследовать движение газа.
Поместим начало системы координат в точку, отвечающую положению поршня в момент покоя; ось направим вправо. При выдвижении поршня образуется волна разрежения, распространяющаяся по газу в положительном направлении оси . Состояние покоя в начальный момент времени означает, что , скорость звука . Следовательно, в плоскости характеристики первого семейства будут прямолинейны, рис 25. Характеристикой, отделяющей невозмущенную среду от области движения, является
При этом , так как при величина .
Рис. 25. Семейство характеристик Рис. 26. Семейство характеристик
волны разрежения волны сжатия
Рассматриваемому случаю отвечает особое решение (4.38)
,
где (из условия на характеристике, отделяющей невозмущенную среду и область движения).
Отсюда
(4.40)
Функция находится с помощью закона движения поршня. При движении поршня каждое его элементарное смещение порождает элементарное волновое возмущение разрежения, которое распространяется со скоростью , причем вектор направлен по ходу движения поршня.
Представленные на рис. 25. характеристики 1-го семейства могут быть записаны в виде
(4.41)
В качестве величины на каждой из характеристик (4.41) можно взять скорость поршня , то есть . В этом случае =. Для каждого фиксированного значения данное соотношение определяет прямую линию в плоскости . При этом, чем больше величина , тем меньше скорость распространения возмущений, так как , и в плоскости получается веер расходящихся характеристик.
По мере увеличения скорости поршня разрежение за ним увеличивается и соответственно уменьшается скорость звука , так как . Если , то . В этот момент за поршнем образуется вакуум (). Следовательно, при скорости поршня поршень отрывается от газа и никак уже не влияет на его движение - происходит «разлет газа в пустоту».
Пусть, наоборот, поршень ускоренно вдвигается в трубу, рис.26. При выбранной системе координат движение газа также описывается решением (4.38).
При таком движении каждое элементарное смещение поршня порождает элементарное волновое возмущение сжатия, которое распространяется слева направо со скоростью . При этом каждая последующая элементарная волна будет распространяться по более сжатому предыдущей волной газу, вследствие чего амплитуда волны будет возрастать.
В отличие от случая выдвижения поршня здесь и, следовательно, , . Видно, чем больше , тем больше величина скорости распространения возмущений . Поэтому в плоскости получается веер сходящихся характеристик, которые, в конце концов, пересекутся, рис. 26.
Сходящийся пучок характеристик указывает на тенденцию формирования качественно нового физического процесса – ударной волны (поскольку вдоль каждой из них скорость остается постоянной, а в точке пересечения будет иметь место многозначная функция ). при ускоренном вдвигании поршня в трубу, заполненную газом, возможно формирование ударной волны, распространяющейся по газу. Действительно, при ускоренном движении поршня газ, непосредственно примыкающий к его поверхности, будет в силу своих инерционных свойств сжат в большей степени, чем вдали от поршня. Возмущения сжатия, вызванные движением поршня, будут распространяться по области газа, характеризующейся переменной величиной скорости звука, монотонно падающей по мере удаления от поршня. Вследствие этого возникшие возмущения будут стремиться догнать движущиеся впереди возмущения. При этом гребень впереди идущей волны будет становиться круче, амплитуда гребня будет возрастать. Данный процесс будет продолжаться до тех пор, пока не возникнет «вертикальный» фронт – скачок давления, который называется фронтом ударной волны, рис. 27а. Пересечение характеристик на рис. 26 и отражает это явление.
Если поршень внезапно остановится, то область сжатого газа будет продолжать движение вправо по оси . Известно, что отрицательных скачков давления не бывает. При остановке поршня возникает волна разрежения, представляющая собой совокупность элементарных волн понижения давления, распространяющихся с местной скоростью звука по движущейся области сжатого газа. При этом эпюра давлений начнет растягиваться, рис. 27б.
Следует отметить, что некоторые элементарные волны понижения давления, обладающие скоростью распространения, близкой к местной скорости звука за фронтом, в определенный момент времени могут догнать фронт и уменьшить его амплитуду.
Рассмотренные простые примеры движения поршня в трубе, заполненной газом, дают определенное представление о характере движения среды между фронтом ударной волны и поверхностью, разделяющей рассматриваемую среду и продукты взрыва, при взрыве.
«Классическая» форма ударной волны при взрыве заряда взрывчатого вещества в воздухе приведена на рис. 28.
При подходе ударной волны к некоторой точке пространства давление, плотность и другие гидродинамические элементы в этой точке скачком возрастают. Затем следует постепенное изменение этих величин, причем через некоторый промежуток времени давление и плотность в данной точке пространства становятся меньше, чем те же параметры в невозмущенной среде. Постепенно падает скорость движения частиц, затем меняя свое направление.
Рис. 28. Эпюра ударной волны
фаза сжатия, 2- фаза разрежения
Таким образом, эпюра ударной волны включает области положительных и отрицательных избыточных давлений. Передняя граница сжатой области называется фронтом ударной волны, а сама область – фазой сжатия. За фазой сжатия следует фаза разрежения. Разность ,где  -атмосферное давление, называется избыточным давлением во фронте ударной волны, время  -длительностью фазы сжатия, время  - длительностью фазы разрежения. Воздух в фазе сжатия движется в сторону распространения фронта, в фазе разрежения – в противоположном направлении.
Площадь, ограниченную эпюрой давления в фазе сжатия, называют импульсом давления в фазе сжатия  , где  - избыточное давление в фазе сжатия.
Установлено, что толщина фронта ударной волны определяется величиной порядка длины свободного пробега молекулы ( ) см.
|
