Говорят, что матрица системы приведена к базисному виду (или имеет базис) если в каждом ее уравнении имеется базисная переменная. Например, матрица системы S не имеет ни одной базисной переменной, матрица имеет базисную переменную х2 в первом уравнении, а матрица приведена к базисному виду. Справедливо следующее утверждение: При помощи элементарных преобразований расширенную матрицу любой совместной системы можно привести к базисному виду.
Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными. Например, в матрице все переменные – базисные, свободных нет. ^
Алгоритм приведения матрицы к базисному виду Каждая итерация алгоритма состоит из трех шагов:
Шаг 1. В первой строке матрицы находим ненулевой элемент a1j 0 , (желательно, a1j = 1) . Если таких нет, то в случае b1 = 0 вычеркиваем нулевую строку; если b1 ≠ 0 , то, очевидно, система несовместна. Найденный элемент назовем разрешающим (или ведущим).
Если a1j = 1, то переходим к шагу 3, иначе к шагу 2.
Шаг 2. Делим первую строку на разрешающий элемент a1j ≠ 0.
(После этого шага коэффициент при xj в первом уравнении будет a1j = 1)
Шаг 3. Ко всем остальным строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на (-aij ), где i - номер изменяемой строки ( i = 2,3,…, m ). После этого шага коэффициент при xj в остальных уравнениях будет 0 , и переменная xj станет базисной в первом уравнении. Затем применяем шаги 1 , 2 и 3 ко второму уравнению полученной матрицы и т.д. Так как число уравнений системы конечно, то этот процесс завершится не более чем за m итераций.
Решение системы по этому алгоритму называется методом Жордана-Гаусса.
После того, как система приведена к базисному виду, находят базисное решение, соответствующее выбранному базису. Для этого переменные, не вошедшие в базис, приравнивают нулю, а остальные переменные (базисные) находят по правым частям соответствующих уравнений. Приведем решение типового примера задания 1:
Найти базисное решение системы с расширенной матрицей
 Применим алгоритм приведения матрицы к базисному виду: В первой строке элемент a12 =1, поэтому выберем его в качестве разрешающего. Теперь изменяем вторую и третью строки следующим образом: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей прибавляем первую, умноженную на (-5). В результате получим матрицу
, в которой переменная x2 стала базисной в первом уравнении. Теперь применяем шаги 1-3 ко второй строке полученной матрицы. Находим ненулевой элемент, например, a24 = 3, и делим вторую строку на этот элемент. Получим матрицу

Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца этой матрицы, для чего к первой строке прибавляем вторую, умноженную на -1, к третьей прибавляем вторую, умноженную на -9. В результате расширенная матрица системы примет вид:
|