Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем




НазваниеВопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем
Дата публикации30.06.2013
Размер77.5 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу

для студентов групп НП , НИ, НФ 1-3 сем.
1-й семестр

А. Множества и операции над ними. Действительные числа.

  1. Множества и действия над ними.

  2. Отображения. Образ, прообраз, инъективность и сюръективность.

  3. Мощность множества. Счетные множества и их свойства.

  4. Несчетные множества.

  5. Теорема о мощности множества всех подмножеств данного множества.

  6. Декартово произведение, бинарное отношение.

  7. Иррациональность числа корень квадратный из 2.

  8. Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел.

  9. Ограниченные множества; точные границы и их свойства.

  10. Теорема существования точной верхней (нижней) границы для ограниченного сверху (снизу) множества.


Б. Последовательность и ее предел.

  1. Последовательность, предел последовательности.

  2. Свойства сходящейся последовательности.

  3. Принцип Коши-Кантора для системы вложенных отрезков.

  4. Принцип Гейне-Бореля для покрытия отрезка.

  5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

  6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

  7. Монотонные последовательности и их свойства.

  8. Принцип математической индукции.

  9. Число е.


В. Предел функции, непрерывные функции.

  1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Односторонние пределы.

  2. Свойства предела функции.

  3. Критерий Коши существования предела.

  4. Монотонные функции и их пределы.

  5. Сравнение бесконечно малых функций.

  6. Непрерывность функции в точке (различные определения и их эквивалентность). Непрерывность функции на множестве, примеры.

  7. Арифметические операции над непрерывными функциями.

  8. Локальные свойства непрерывной функции (ограниченность, отделимость от нуля).

  9. Глобальные свойства непрерывной функции. 1-ая теорема Больцано - Коши (о нуле функции).

  10. 2-ая теорема Больцано - Коши (о промежуточном значении).

  11. 1-ая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции).

  12. 2-ая теорема Вейерштрасса (о достижении экстремумов).

  13. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.

  14. Точки разрыва и их классификация.

  15. Точки разрыва монотонной функции.

  16. Обратная функция и ее свойства.

  17. Непрерывность сложной функции.


Г. Производная и дифференциал. Основные теоремы дифференциального исчисления.

  1. Производная функции. Механическая и геометрическая интерпретация производной.

  2. Односторонние производные и их связь с производной функции, бесконечные производные.

  3. Правила дифференцирования.

  4. Производная сложной функции.

  5. Производная обратной и параметрически заданной функции.

  6. Дифференциал функции и его связь с производной. Геометрическая интерпретация дифференциала.

  7. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

  8. Производные и дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы дифференциалов высших порядков.

  9. Формула Лейбница.

  10. Точки локального экстремума. Теорема Ферма.

  11. Теорема Ролля.

  12. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

  13. Теорема Коши.

  14. Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции.

  15. Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши, Лагранжа и Пеано.

  16. Разложение по формуле Тейлора функций еxp(x), sinx, cosx, ln(1+x), (1+x) в степени µ .

  17. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба.

  18. Условия монотонности функции.

  19. Экстремумы функций. Необходимые условия. Достаточные условия локального экстремума.

  20. Правила Лопиталя.

  21. Асимптоты. Схема построения графиков функций (с использованием производных).


Д. Неопределенный интеграл.

  1. Первообразная и неопределенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции.

  2. Таблица основных интегралов. Правила интегрирования.

  3. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

  4. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

  5. Теорема о разложении дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей.

  6. Интегрирование выражений вида R ( радикал из(ax+b)/(cx+d)) . .

  7. Интегрирование дифференциальных биномов.

  8. Подстановки Эйлера.

  9. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.


2-й семестр
А. Определенный интеграл Римана и его приложения.

1.Интеграл Римана. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости, достаточное условие.

2.. Классы функций, интегрируемых по Риману.

3. Суммы и интегралы Дарбу, критерий Дарбу. Критерий Лебега (без доказательства).

4. Свойства интеграла Римана, теорема о среднем значении.

5. Основная теорема интегрального исчисления.

6. Формула Ньютона-Лейбница. Обобщенная первообразная.

7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

8. Аппроксимация определенного интеграла.

9. Вычисление длины кривой, площади и объема.

10. Кривые в евклидовом пространстве.

11. Кривизна кривой.
Б. Несобственные интегралы (НИ).

  1. НИ, критерий Коши.

  2. Признаки сравнения для НИ.

  3. Абсолютно и условно сходящийся НИ.

  4. Признак Абеля и Дирихле сходимости НИ.

  5. Интегральный признак сходимости ряда.

  6. Понятие главного значения НИ.


В. Некоторые понятия топологии. Метрические пространства.

  1. Определение метрического пространства, примеры.

  2. Открытые и замкнутые множества в R n и их свойства.

  3. Понятие компакта. Компакты в Rn и их свойства.

  4. Последовательности в Rn и их сходимость.

  5. Непрерывные функции в Rn .

  6. Свойства непрерывных функций, заданных на компакте.


Г. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

  1. Дифференцируемые функции в Rn .

  2. Дифференцирование сложной функции.

  3. Производная по направлению. Градиент.

  4. Геометрический смысл дифференциала.

  5. Частные производные высших порядков.

  6. Дифференциалы высших порядков.

  7. Формула Тейлора.

  8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных.

  9. Неявные функции.

  10. Основные теоремы о неявной функции.

  11. Система неявных функций.

  12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби.

  13. Условный экстремум функции многих переменных.


Д. Числовые ряды.

  1. Числовой ряд. Критерий сходимости Коши. Необходимое условие сходимости.

  2. Знакопостоянные ряды. Признаки, основанные на сравнении рядов.

  3. Интегральный признак сходимости Коши.

  4. Признаки Раабе и Гаусса.

  5. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

  6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

  7. Сочетательное и переместительное свойство рядов.

  8. Теорема Римана об условно сходящихся рядах.

  9. Умножение рядов. Преобразование Абеля. Признаки Абеля и Дирихле.

  10. Повторные и двойные ряды.

  11. Бесконечные произведения и их связь с рядами.


Е. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

  1. Общее определение равномерной сходимости. Примеры равномерной и неравномерной сходимости последовательности функций.

  2. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций.

  3. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (ФР), примеры.

  4. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости ФР, примеры.

  5. Теорема о непрерывности суммы ФР.

  6. Теорема о почленном интегрировании ФР.

  7. Теорема о почленном дифференцировании ФР, пример.

  8. Равномерная сходимость функций по параметру. Критерий Коши.

  9. Условие интегрируемости предельной функции.

  10. Переход к пределу под знаком интеграла.

  11. Теорема о непрерывности и интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра.

  12. Дифференцирование собственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема Лейбница.

  13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.


Ж. Степенные ряды.

  1. Степенные ряды в действительной области. Радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля.

  2. Формулы для нахождения радиуса сходимости.

  3. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.

  4. Ряд Тейлора.

  5. Ряд Тейлора для показательной функции, cosx, sinx.

  6. Ряд Тейлора для функции ln (1+x), arc tgx.



3-й семестр
А. Кратные интегралы.

1. Интеграл Римана по n–мерному промежутку.

2. Множество лебеговой меры 0.

3. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.

4. Критерий Лебега .

5. Интеграл Римана по допустимому множеству.

6. Свойства кратного интеграла Римана.

7. Теорема о среднем значении интеграла Римана.

8. Теорема Фубини.

9. Эвристический вывод формулы замены переменных в кратном интеграле.

10. Замена переменных в двойном и тройном интегралах.

11. Кратные несобственные интегралы
Б. Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Формула длины кривой.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода.

3. Криволинейный интеграл 2-рода.

4. Формула Грина. Вычисление площади области криволинейным интегралом.

5. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

6. Параметрическое представление поверхности в прямоугольной системе координат.

7. Ориентация поверхности. Лист Мебиуса.

8. Площадь поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.

9. Поверхностный интеграл 1-го рода.

10. Поверхностный интеграл 2-го рода.

11. Формула Стокса.

12. Формула Остроградского-Гаусса.
В.Элементы векторного анализа

1.Основные характеристики скалярного и векторного полей.

2. Градиент, ротор, дивергенция.

3. Потенциальные поля. Условия потенциальности векторного поля.

4. Соленоидальное и гармоническое поле.

5. Теорема Гельмгольца
Г. Ряд и интеграл Фурье

1. Ортогональная система функций . Ряд Фурье.

2. Свойства ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Сходимость в среднем.

3. Тригонометрический ряд Фурье и его свойства.

4. Теорема Дирихле.

5. Принцип локализации Римана.

6. Метод средних арифметических суммирования ряда Фурье. Теорема Вейерштрасса.

7. Преобразование Фурье.

8. Интеграл Фурье.





















Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconПеречень вопросов для студентов 3-го курса к итоговому контролю знаний...
Нарушения общего объёма крови: классификация, причины и механизмы развития. Этиология, патогенез кровопотери. Патогенез постгеморрагического...

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconПеречень вопросов для студентов к итоговому контролю знаний по патологической физиологии
Методы патофизиологии. Эксперимент, его значение для решения фундаментальных проблем медицины. Виды экспериментов. Основные этапы...

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconФонд вопросов к итоговому контролю по дисциплине
«Ветеринарно-санитарная экспертиза с основами технологии и стандартизации продуктов животноводства» для студентов 5-го очного

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconЧто называют мембранным потенциалом покоя (мпп)?
Перечень вопросов для подготовки студентов к итоговому модульному контролю №1 по физиологии в 2011-2012 уч г

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconКонтрольная работа №2 по математическому анализу для студентов
Найти все частные производные I и II порядка функции. Записать дифференциалы I и II порядка функции

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconПеречень контрольных вопросов для проведения экзамена по математическому...

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconКонтрольная работа №2 по математическому анализу

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconI. Вопросы к итоговому модульному контролю №1 по биоорганической химии
Биоорганическая химия как наука: определение, задачи, методы исследования. Значение в системе высшего медицинского образования

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр

Вопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для студентов групп нп, ни, нф 1-3 сем iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов