§ Основная задача интегрального исчисления
Скачать 225.32 Kb.
|
| РАЗДЕЛ 1. ОпределЕнный интеграл § Основная задача интегрального исчисления – нахождение площади криволинейной трапеции П  остановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной снизу замкнутым промежутком оси абсцисс I = [a,b] (y= 0), слева – вертикальной прямой x = a , справа – вертикальной прямой x= b и сверху – дугой графика функции y = f (x). Такая фигура называется криволинейной трапецией опирающейся на промежуток I . Несколько слов о понятии площади. Студенты с большим трудом и невнятно формулируют понятие площади. И не мудрено. В программе школьного образования не формулируется понятие площади, и оно остается чисто интуитивным. На самом деле площадь это некоторая функция  , заданная на геометрических объектах  и такая, что 1)  и 2)  . Теперь займемся решением поставленной задачи. Для этого поступим следующим образом: А. Разобьём промежуток I на n частей, не обязательно равных по длине, точками  :   , и обозначим – промежутки разбиения. Величину  назовем диаметром промежутка разбиения, а величину  – мерой промежутка разбиения.При этом:  и  . Для интервала понятие меры и диаметра не отличаются. Для произвольного множества самое большое из расстояний между элементами множеств, конечно, не всегда не совпадает с суммарной длиной интервалов, его составляющих. Пусть  – внутренность промежутка разбиения: =( ) т.е.   . При этом говорят: Задано разбиение Р =  промежутка I = [a, b], а величина  называется параметром разбиения Р.Б. Теперь для каждого  выберем точки  т.е.  . П  олучаем  разбиение с отмеченными точками.В. Построим сумму площадей образовавшихся прямоугольников:  , и перейдем к пределу при параметре разбиения, стремящемся к нулю. Если такой предел существует, то он называется определенным интегралом от функции  по промежутку  и для неотрицательной функции является площадью криволинейной трапеции  .Если функция является знакопеременной то определенный интеграл это, вообще говоря, не площадь а ориентированная площадь, когда считается, что фигуры лежащие выше оси абсцисс имеют положительную площадь, а фигуры лежащие ниже оси абсцисс имеют отрицательную площадь. § Свойства разбиений Говорят, что разбиение Р мельче чем разбиение  (или крупнее Р), (или Р следует за ) и записывают  , если все точки разбиения содержатся среди точек разбиения Р. Отметим три важных свойства отношения «крупнее – мельче» для разбиений:а) существуют разбиения со сколь угодным малым параметром: I = [a, b]. Выбирая  ; k = 0,1,2,…,n. Тогда  и выбирая  достаточно большим, можно сделать параметр разбиения сколь угодно малым.б) для двух любых разбиений  существует третье разбиение, следующее за любым из них:  с) транзитивность отношения «крупнее – мельче»:  и, что то же самое P1 P2 P2 P3 P1 P3. § Определение определённого интеграла на языке  .^ Def: Величина I (f ) называется определённым интегралом от функции f на промежутке [a, b]  D(f ), если:  .Def: Если в множестве X задана система B подмножеств B множества X такая, что: а) BB B ; б) B1, B2B B3B B3 B1∩B2, то говорят, что в множестве X задана база. Примеры. 1˚. Множество открытых окрестностей точки а образуют базу. Обозначим эту базу P  .2˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а образуют базу (P  ).3˚. Множество открытых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ).4˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ).5˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] образуют базу (P  )..^ Множество всех разбиений промежутка [a, b] с параметром разбиения P < образуют базу. 7˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками образуют базу. 6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками с параметром разбиения P < образуют базу. Последние три базы обозначают базу P  или  .Def:  . Пределом функции f (x) по базе B называется число А, такое, что:  . и тогда определение определенного интеграла может быть записано через предел по базе разбиений с отмеченными точками с параметром разбиения P < :  .§. Необходимое условие интегрируемости Т. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём. Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) или R[a, b]. Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе  функции   .∆ Докажем:  ограничена на I. Так как функция интегрируема, то От противного: Предположим, что не ограничена на I . Тогда не ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения  , т.е. при  : Это следует из интегрируемости функции .Но, если выбрать разбиения  и  , отличающиеся только одной отмеченной точкой  , для которых  (это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим:  . Полученное противоречие доказывает теорему ▲Но ограниченность – только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле  не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле:  , и, следовательно, предел интегральных сумм не существует. § Суммы и интегралы Дарбу Рассмотрим разбиение промежутка [a, b] – Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем  ;  и построим суммы:  и  , называемые нижней и верхней суммами Дарбу.При этом:  и  ,  .Нетрудно понять, что при измельчении разбиения  не уменьшаются, а  не увеличиваются:  . Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние – монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при  . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу. ,  и, кроме того,  .§ Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [a, b], тогда и только тогда, когда её верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.    .∆. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда  .Следовательно:  и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим  . Переходя к пределу при получаем, что  , т.е.  .б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что  и используя теорему о двух милиционерах, переходим к пределу при :  ▲Другие формулировки того же критерия: *). Если интегрируема на  , то  .*). Если интегрируема на , то  . |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин... | | Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления... |
| | Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20... | |
| Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом... | | Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных... |
| Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,... | | Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами... |
| Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих... | | Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме |