§ Основная задача интегрального исчисления




Скачать 225.32 Kb.
Название§ Основная задача интегрального исчисления
страница1/4
Дата публикации30.06.2013
Размер225.32 Kb.
ТипЗадача
zadocs.ru > Математика > Задача
  1   2   3   4
РАЗДЕЛ 1. ОпределЕнный интеграл
§ Основная задача интегрального исчисления –

нахождение площади криволинейной трапеции
П

остановка задачи:
Найти площадь фигуры, ограниченной снизу замкнутым промежутком оси абсцисс I = [a,b] (y= 0), слева – вертикальной прямой x = a , справа – вертикальной прямой x= b и сверху – дугой графика функции y = f (x). Такая фигура называется криволинейной трапецией опирающейся на промежуток I .

Несколько слов о понятии площади. Студенты с большим трудом и невнятно формулируют понятие площади. И не мудрено. В программе школьного образования не формулируется понятие площади, и оно остается чисто интуитивным. На самом деле площадь это некоторая функция , заданная на геометрических объектах и такая, что 1) и 2) .

Теперь займемся решением поставленной задачи. Для этого поступим следующим образом:
А. Разобьём промежуток I на n частей, не обязательно равных по длине, точками :

, и обозначим

– промежутки разбиения. Величину назовем диаметром промежутка разбиения, а величину – мерой промежутка разбиения.

При этом: и

. Для интервала понятие меры и диаметра не отличаются. Для произвольного множества самое большое из расстояний между элементами множеств, конечно, не всегда не совпадает с суммарной длиной интервалов, его составляющих.

Пусть – внутренность промежутка разбиения: =() т.е. . При этом говорят: Задано разбиение Р = промежутка I = [a, b], а величина называется параметром разбиения Р.
Б. Теперь для каждого выберем точки т.е. .

П

олучаем разбиение с отмеченными точками.
В. Построим сумму площадей образовавшихся прямоугольников: , и перейдем к пределу при параметре разбиения, стремящемся к нулю. Если такой предел существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку и для неотрицательной функции является площадью криволинейной трапеции

.

Если функция является знакопеременной то определенный интеграл это, вообще говоря, не площадь а ориентированная площадь, когда считается, что фигуры лежащие выше оси абсцисс имеют положительную площадь, а фигуры лежащие ниже оси абсцисс имеют отрицательную площадь.

§ Свойства разбиений
Говорят, что разбиение Р мельче чем разбиение (или крупнее Р), (или Р следует за ) и записывают , если все точки разбиения содержатся среди точек разбиения Р. Отметим три важных свойства отношения «крупнее – мельче» для разбиений:

а) существуют разбиения со сколь угодным малым параметром:

I = [a, b]. Выбирая ; k = 0,1,2,…,n. Тогда и выбирая достаточно большим, можно сделать параметр разбиения сколь угодно малым.

б) для двух любых разбиений существует третье разбиение, следующее за любым из них:

с) транзитивность отношения «крупнее – мельче»:

и, что то же самое P1P2P2P3P1P3.
§ Определение определённого интеграла на языке .

^ Предел по базе
Def: Величина I (f ) называется определённым интегралом от функции f на промежутке [a, b] D(f ), если: .

Def: Если в множестве X задана система B подмножеств B множества X такая, что:

а) BB B  ; б) B1, B2B B3B B3B1B2,

то говорят, что в множестве X задана база.

Примеры.

1˚. Множество открытых окрестностей точки а образуют базу. Обозначим эту базу P.

2˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а образуют базу (P).

3˚. Множество открытых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P).

4˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P).

5˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] образуют базу (P)..

^ 6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с параметром разбиения P <  образуют базу.

7˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками образуют базу.

6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками с параметром разбиения P <  образуют базу. Последние три базы обозначают базу P или .

Def: . Пределом функции f (x) по базе B называется число А, такое, что:

. и тогда определение определенного интеграла может быть записано через предел по базе разбиений с отмеченными точками с параметром разбиения P < : .
§. Необходимое условие интегрируемости
Т. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём.

Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) или R[a, b].
Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе функции

.

∆ Докажем: ограничена на I. Так как функция интегрируема, то



От противного: Предположим, что не ограничена на I . Тогда не ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения , т.е. при :



Это следует из интегрируемости функции .

Но, если выбрать разбиения и , отличающиеся только одной отмеченной точкой , для которых (это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим: . Полученное противоречие доказывает теорему ▲
Но ограниченность – только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле: , и, следовательно, предел интегральных сумм не существует.
§ Суммы и интегралы Дарбу
Рассмотрим разбиение промежутка [a, b] – Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем

;

и построим суммы: и , называемые нижней и верхней суммами Дарбу.

При этом:

и , .

Нетрудно понять, что при измельчении разбиения не уменьшаются, а не увеличиваются: .

Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние – монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

,

и, кроме того, .
§ Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману
Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [a, b], тогда и только тогда, когда её верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.

.
∆. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда

.

Следовательно: и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим . Переходя к пределу при получаем, что , т.е.

.

б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что и используя теорему о двух милиционерах, переходим к пределу при :
Другие формулировки того же критерия:

*). Если интегрируема на , то .

*). Если интегрируема на , то .
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

§ Основная задача интегрального исчисления iconКудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М....
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин...

§ Основная задача интегрального исчисления iconИсчисления и уплаты
Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления...

§ Основная задача интегрального исчисления iconДобиваться выполнения поставленных задач основная задача руководителя

§ Основная задача интегрального исчисления icon1. Общая характеристика механизма исчисления государственной трудовой...
Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20...

§ Основная задача интегрального исчисления iconПрограмма спецкурса Современная русская литература
Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом...

§ Основная задача интегрального исчисления iconУчебное пособие содержание
Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных...

§ Основная задача интегрального исчисления icon1 Строительная климатология (факторы температуры, влажности, ветра, осадки, солнечная радиация)
Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,...

§ Основная задача интегрального исчисления iconМетодические указания по оформлению текстовых документов (Это не...
Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами...

§ Основная задача интегрального исчисления iconРабочая программа дисциплины «литература народов снг»
Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих...

§ Основная задача интегрального исчисления iconОсновная задача, стоящая перед разработчиком, которому нужно защищать...
Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов