Скачать 225.32 Kb.
|
РАЗДЕЛ 1. ОпределЕнный интеграл § Основная задача интегрального исчисления – нахождение площади криволинейной трапеции П ![]() остановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной снизу замкнутым промежутком оси абсцисс I = [a,b] (y= 0), слева – вертикальной прямой x = a , справа – вертикальной прямой x= b и сверху – дугой графика функции y = f (x). Такая фигура называется криволинейной трапецией опирающейся на промежуток I . Несколько слов о понятии площади. Студенты с большим трудом и невнятно формулируют понятие площади. И не мудрено. В программе школьного образования не формулируется понятие площади, и оно остается чисто интуитивным. На самом деле площадь это некоторая функция ![]() ![]() ![]() ![]() Теперь займемся решением поставленной задачи. Для этого поступим следующим образом: А. Разобьём промежуток I на n частей, не обязательно равных по длине, точками ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При этом: ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Б. Теперь для каждого ![]() ![]() ![]() П ![]() олучаем ![]() В. Построим сумму площадей образовавшихся прямоугольников: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция является знакопеременной то определенный интеграл это, вообще говоря, не площадь а ориентированная площадь, когда считается, что фигуры лежащие выше оси абсцисс имеют положительную площадь, а фигуры лежащие ниже оси абсцисс имеют отрицательную площадь. § Свойства разбиений Говорят, что разбиение Р мельче чем разбиение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) существуют разбиения со сколь угодным малым параметром: I = [a, b]. Выбирая ![]() ![]() ![]() б) для двух любых разбиений ![]() ![]() с) транзитивность отношения «крупнее – мельче»: ![]() § Определение определённого интеграла на языке ![]() ^ Def: Величина I (f ) называется определённым интегралом от функции f на промежутке [a, b] ![]() ![]() Def: Если в множестве X задана система B подмножеств B множества X такая, что: а) BB B ; б) B1, B2B B3B B3 B1∩B2, то говорят, что в множестве X задана база. Примеры. 1˚. Множество открытых окрестностей точки а образуют базу. Обозначим эту базу P ![]() 2˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а образуют базу (P ![]() 3˚. Множество открытых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ![]() 4˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ![]() 5˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] образуют базу (P ![]() ^ Множество всех разбиений промежутка [a, b] с параметром разбиения P < образуют базу. 7˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками образуют базу. 6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками с параметром разбиения P < образуют базу. Последние три базы обозначают базу P ![]() ![]() Def: ![]() ![]() ![]() §. Необходимое условие интегрируемости Т. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём. Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) или R[a, b]. Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе ![]() ![]() ![]() ![]() ∆ Докажем: ![]() ![]() От противного: Предположим, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это следует из интегрируемости функции ![]() Но, если выбрать разбиения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Но ограниченность – только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле ![]() ![]() § Суммы и интегралы Дарбу Рассмотрим разбиение промежутка [a, b] – Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем ![]() ![]() и построим суммы: ![]() ![]() При этом: ![]() ![]() ![]() Нетрудно понять, что при измельчении разбиения ![]() ![]() ![]() Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние – монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при ![]() ![]() ![]() и, кроме того, ![]() § Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [a, b], тогда и только тогда, когда её верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой. ![]() ![]() ![]() ∆. а). Пусть функция ![]() ![]() ![]() Следовательно: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что ![]() ![]() ![]() Другие формулировки того же критерия: *). Если ![]() ![]() ![]() *). Если ![]() ![]() ![]() |
![]() | Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин... | ![]() | Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления... |
![]() | ![]() | Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20... | |
![]() | Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом... | ![]() | Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных... |
![]() | Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,... | ![]() | Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами... |
![]() | Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих... | ![]() | Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме |