§ Основная задача интегрального исчисления




Скачать 225.32 Kb.
Название§ Основная задача интегрального исчисления
страница2/4
Дата публикации30.06.2013
Размер225.32 Kb.
ТипЗадача
zadocs.ru > Математика > Задача
1   2   3   4
§ Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Т°. Функция непрерывная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

Т°. Функция монотонная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

∆ а). Пусть т.е. непрерывна  равномерно непрерывна на. Тогда , и получим:

и по критерию Дарбу , что и требовалось доказать.

б). Пусть f (x) монотонна на [a, b]. Например, монотонно возрастающая: .

Тогда: , что и требовалось доказать ▲
§. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ. Дельта-функция Дирака
Ступенчатой функцией действительной переменной называется функция которая изменяет свое значение только в дискретной последовательности точек разрыва (необходимо первого рода).Значения функции в точках разрыва могут быть как определены так и не определены. Наиболее часто применяются следующие ступенчатые функции.



Отметим что

.

Каждая ступенчатая функция может быть представлена (за исключением, возможно, ее значений в Точках разрыва ) как сумма вида

.

^ Аппроксимация ступенчатых функций непрерывными функциями.





^ Символическая дельта-функция Дирака.

Симметричная единичная импульсная функция или функция Дирака действительной переменной х определяется условием

,

где – произвольная функция непрерывная при .

Более общее определение дельта-функции Дирака

,

где – произвольная функция ограниченной вариации в окрестности точки . Дельта функция не является функцией в обычном смысле. Из определения следуют несовместимые условия , – есть символическая (обобщенная) функция, позволяющая формально представить функциональное преобразование, как интегральное преобразование. Формальное применение приводит к удобным обозначениям, подсказывающим обобщения многих математических соотношений. Хотя функций, обладающих в точности указанными свойствами не существует, возможно, в некотором смысле, рассматривать как пределы обычных функций.

Математические утверждения, в которых применяются импульсные функции, следует рассматривать как эвристические и нуждающиеся в строгих обоснованиях.

^ Формальные соотношения содержащие .



Производные ступенчатых и импульсных функций.

Формулы приводят к соотношению (a > 0)

,

откуда следует символическое равенство



(его формально можно получить также из формулы). Производные (х), (х), … импульсной функции (х) определяются условиями:

,

где f(x) – произвольная функция такая, что односторонние пределы f(r)(x – 0) и f(r)(x + 0) существуют. Функции (r)( – x) есть ядра линейных интегральных преобразований, представляющих повторные дифференцирования. Отметим символическое соотношение

(r = 0, 1, 2, …).

Аппроксимация импульсных функций.

а) Аппроксимация (х) непрерывно дифференцируемыми функциями.

Возможно, аппроксимировать (х) непрерывно дифференцируемыми функциями

при   ,

при   ,

при   

в том смысле, что (х  0) и



при условии, что f(x – 0) и f(x + 0) существуют; заметим еще, что .

Интегрирование аппроксимирующих функций приводит к соответствующим аппроксимациям ступенчатых функций (формулы), (a > 0) сходится к при    для каждой функции.

б) Аппроксимация (х) разрывными функциями.

(х) часто аппроксимируется центральной конечной разностью

при h  0.

Отметим также, что

(– < X < )

(интегральная формула Дирихле)

и (– < X < ),

если f(x) – функция ограниченной вариации в окрестности точки x = X .

в) Аппроксимация функций (х), (х), …, (r)(х).

Последовательное дифференцирование формулы приводит к аппроксимирующим функциям:

при   ,

при   0, (r = 0, 1, 2, …).

Заметим также, что при h  0.

Ассиметричные импульсные функции.

а) Ассиметричные импульсные функции +(х), + (х), + (х), …, определяются соотношениями:

(a < b),

(a < b; r = 1, 2, …).

Можно записать:

.

Чтобы получить аппроксимирующие функции для +(х), нужно подставить аппроксимирующие функции в соотношение, например:

при h  0,

при h  0.

б) Можно ввести +(–х) = (х) как вторую ассиметричную импульсную функцию, соответствующую «производной» ассиметричной ступенчатой функции U(x).

^ Многомерные дельта-функции.

В n-мерном пространстве точек (x1, x2, …, xn) с элементом объема



n-мерная дельта-функция (x1, 1; x2, 2; …; xn, n) должна удовлетворять условию:



для каждой точки (x1, x2, …, xn) в V, где f(x1, x2, …, xn) непрерывна. Заметим, что определение (x1, 1; x2, 2; …; xn, n) зависит от выбора системы координат и теряет смысл, если dV = 0. В частности, для прямоугольной декартовой системы координат x, y, z имеем dV = dxdydz и

(x, ; y, ; z, ) = (x – )(y – )(z – ).

§. Интегрируемость суммы, произведения и частного

интегрируемых функций
1°.

∆ Отметим, что f (x) и g(x) – ограничены на [a, b].

, .

Отсюда следует, что и, следовательно

что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость суммы двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

2°. .

∆ Пусть f (x), g(x) – ограничены.

=

.

Значит , что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость произведения двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

3°. и g(x) – отделена от нуля .

∆ Достаточно доказать интегрируемость функции :

.

Здесь мы воспользовались тем, что g(x) отделена от нуля, т.е. | g(x) |  m > 0 и и, по критерию Дарбу, функция интегрируема.

Функция интегрируема, как произведение интегрируемых функций и .
§. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
T°. Функция f (x) интегрируема по Риману на [a, b] тогда и только тогда, когда она

ограничена и непрерывна почти всюду на [a, b].(п.в. на [a, b]), т.е. множество её точек

разрыва имеет лебегову меру ноль.

Def: Множество М имеет лебегову меру ноль ( (M) = 0 ) если существует не более чем счётная система промежутков, покрывающая множество М и имеющая сколь угодно малую суммарную меру т.е.  > 0 {In}nN .

Промежутки In – будем считать открытыми, хотя это всё равно.

При этом:

1). Точка и конечное множество точек имеет лебегову меру ноль.

2). Счётное число точек имеет лебегову меру ноль. .

^ 3). Всякое подмножество множества лебеговой меры ноль имеет лебегову меру ноль.

4). Объединение не более чем счётного числа множеств лебеговой меры ноль имеет лебегову

меру ноль.

5). Невырожденный промежуток не имеет лебеговой меры ноль и не может быть покрыт не более чем счётной системой промежутков с суммарной мерой меньшей его длины.

^ 6). Множество лебеговой меры ноль не может иметь внутренних точек.

7). Существуют несчётные множества лебеговой меры 0.



Для построения такого множества рассмотрим отрезок .

На первом шаге разделим отрезок на три равные части и удалим из отрезка средний интервал длиной . После первого шага останется два отрезка и . На следующем шаге с каждым из двух отрезков и поступим так же, как на первом шаге поступили с исходным отрезком т.е. выбросим еще два интервала длиной по . После второго шага останется четыре отрезка , ,, . На рисунке изображены первые четыре шага построения искомого множества. Продолжим эту процедуру до бесконечности.

Множество точек, которые останутся после проведения описанной процедуры, называется канторовым множеством.

Мера построенного канторового множества С равна . Итак, канторово множество имеет лебегову меру ноль. Докажем, что это множество не счетно.

Для этого представим каждое число, входящее в множество, в виде двоичной дроби, у которой целая часть равна нулю, первой цифрой после запятой является 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбит промежуток на первом шаге проделанной процедуры, вторая цифра после запятой это вновь 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбиты соответствующие подпромежутки на втором шаге проделанной процедуры, и т.д.

Тогда каждому элементу канторового множества поставлено в соответствие число вида , где это 1 или 3. Покажем что множество таких дробей не счетно. Доказательство проведем от противного. Допустим множество счетно, т.е. все его элементы можно занумеровать. Пусть эти числа занумерованы

1). , 2). , 3). , 4). , …..

Здесь нижний индекс означает номер цифры после запятой, а верхний – номер, который получило число при данном способе нумерации. Тогда число , у которого , если и наоборот, не совпадает ни с одним из пронумерованных чисел, хотя и является числом того же типа. Противоречие доказывает что канторово множество не счетно. ▲
1   2   3   4

Похожие:

§ Основная задача интегрального исчисления iconКудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М....
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин...

§ Основная задача интегрального исчисления iconИсчисления и уплаты
Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления...

§ Основная задача интегрального исчисления iconДобиваться выполнения поставленных задач основная задача руководителя

§ Основная задача интегрального исчисления icon1. Общая характеристика механизма исчисления государственной трудовой...
Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20...

§ Основная задача интегрального исчисления iconПрограмма спецкурса Современная русская литература
Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом...

§ Основная задача интегрального исчисления iconУчебное пособие содержание
Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных...

§ Основная задача интегрального исчисления icon1 Строительная климатология (факторы температуры, влажности, ветра, осадки, солнечная радиация)
Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,...

§ Основная задача интегрального исчисления iconМетодические указания по оформлению текстовых документов (Это не...
Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами...

§ Основная задача интегрального исчисления iconРабочая программа дисциплины «литература народов снг»
Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих...

§ Основная задача интегрального исчисления iconОсновная задача, стоящая перед разработчиком, которому нужно защищать...
Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов