§ Основная задача интегрального исчисления
Скачать 225.32 Kb.
|
| §. Основные свойства определённого интеграла. А. Условие нормировки.  . ∆  . ▲В. Линейность. Множество функций интегрируемых по Риману на [a, b] – R[a, b] является линейным пространством относительно операции + и · (сложения и умножения на число). На этом пространстве определённый интеграл есть линейный функционал f, gR[a, b] , ℝ (f + g) R[a, b] и  .∆  ==  , и, переходя к пределу при , получим.С. Монотонность. Интеграл от неотрицательной интегрируемой функции неотрицателен fR[a, b] и x[a, b] f(x) 0  . ∆  . ▲ D. Интегрирование неравенств. Нестрогое неравенство между интегрируемыми функциями сохраняется при почленном интегрировании f, gR[a, b] x[a, b] f(x) g(x)  .∆  . ▲*. Строгое неравенство между интегрируемыми функциями не сохраняется f, gR[a, b] x[a, b] f(x) < g(x) .Е. Интегрируемость по подпромежутку. Если функция интегрируема по промежутку, то она интегрируема по любому его подпромежутку. ∆ fR[a, b] [c, d] [a, b] f(x)R[c, d]. ▲ F  . Аддитивность определенного интеграла, как функции ориентированного промежутка. a, b, c I f RI  , причем равенство справедливо независимо от взаимного расположения точек a, b, c.
Устремляя P 0, получаем .b) c = a  .c)  Легко видеть, если записать, соответствующие интегральные суммы .G  . Условие положительности определённого интеграла от неотрицательной функции. Интеграл от неотрицательной интегрируемой функции положителен, если на промежутке есть точка, в которой функция положительна и непрерывна. f(x)R[a, b] a < b x [a, b] f(x) 0 и x0[a, b] f(x0) > 0 и f непрерывна в x0. Тогда  . ∆ x0[a, b] 1) f(x0) непрерывна в x0 > 0 > 0 x |x – x0| < |f(x) – f(x0)| < , значит f(x) – < f(x0) < f(x0) + . 2) Выберем  .Тогда  xO(x0, ).И построим функцию  .x[a, b] f(x) g(x)  . ▲H. Равенство нулю интеграла от интегрируемой функции, почти всюду равной нулю. fR[a, b] и f(x) = 0 почти всюду (п.в.) на [a, b]  .∆  . ▲I. Условия обращения в нуль интеграла от неотрицательной функции. В случае существования интеграл равен нулю, если функция равна нулю почти всюду. fR[a, b] x[a, b] f(x) 0  (п.в.) на [a, b]. ∆▲ J. Равенство интегралов от функций, которые равны п.в. Интегралы от функций, которые равны почти всюду, равны между собой f,gR[a,b] f(x) = g(x) п.в. на [a, b]  .∆ F(x) = f(x) – g(x) R[a, b] и F(x) = 0 п.в. на [a, b]  . ▲K. Возможность неопределённости подынтегральной функции на множестве лебеговой меры ноль. Под знаком интеграла может стоять функция, которая не определена на подмножестве промежутка интегрированная лебеговой меры ноль. Если доопределить или переопределить подынтегральную функцию на множестве лебеговой меры ноль, то интеграл не изменится. Любое такое доопределение, если оно, возможно, даёт одно и то же значения интеграла. В частности, на конечном множестве точек ограничений на выбор частичных значений подынтегральной функции нет.  , где  . ∆▲ L. Интегрируемость модуля интегрируемой функции и неравенство между соответствующими интегралами. Если функция интегрируема по промежутку, то её модуль по этому же промежутку также интегрируем. При этом: модуль интеграла от функции не превышает интеграла от модуля той же функции. f R[a, b] | f | R[a, b]  .∆ Т.к. – | f (x) | f (x) | f (x) |   . ▲M. Первая теорема о среднем. Если функции f и g интегрируемы на [a, b], причём одна из них не меняет знак на [a, b], а значение другой находится между значениями m и M, то найдётся число такое, что m M и интеграл от произведения этих функций равен произведению на интеграл от той функции, которая не меняет знак на [a, b]. f, g R[a,b] g(x) 0 x[a, b] (или g(x) 0 x[a, b]) и x[a, b] – < m f(x) M < + [m, M]  .Если функция, среднее значение которой выносится из под знака интеграла, непрерывна на промежутке интегрирования, то указанное среднее значение является одним из значений этой функции внутри промежутка интегрирования. fC[a, b] c (a, b) = f(c).  В частности  . При этом  называется средним значением функции на промежутке [a, b]. Смысл названия среднее значение иллюстрируется на рисунке справа. m f(x) M; g(x) 0 m g(x) f(x) g(x) M g(x)  . И далее два вариантаа)  m0  0 = 0.б)  .N. Вторая теорема о среднем. Формулы Бонне. Если  и функция f (x) монотонна на  , то  , такое что  . Кроме того, известны две разновидности второй теоремы о среднем, называемые формулами Бонне а). Если f (x) – неотрицательная и не убывающая  . б). Если f (x) – неотрицательная и не возрастающая  Рисунки иллюстрируют геометрический смысл второй теоремы о среднем и формул Бонне. §. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть fRI, aI, xI. Рассмотрим функцию:  . Прежде отметим два простых факта а). Непрерывность интеграла, как функции верхнего предела:  .б) Дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела: fRI , f непрерывна в x0I, то  дифференцируема в точке x0, причём производная по верхнему пределу совпадает со значением подынтегральной функции в точке x0:  . =  =  =  ==     .т.е.  .Далее в) Существование первообразной у непрерывной функции. Если f (x) непрерывна на промежутке, то у неё существует первообразная, которая с точностью до постоянного слагаемого является определённым интегралом от этой функции с переменным верхним пределом F (x) = f(x) xI, где f (x) непрерывна по условию. г) Обобщённая первообразная. Функция F(x) называется обобщённой первообразной для f (x) на I, если F (x) = f (x) всюду на I, кроме может быть не более чем счётного множества точек. Пример  т.е. | x | – обобщённая первообразная для sgn x.Обобщённые первообразные отличаются не более, чем на постоянное слагаемое:   .Т. Всякая непрерывная на некотором промежутке функция, производная которой существует и равна нулю всюду кроме, не более чем счётного числа точек является константой. ▲ «  канторова-лестница» F (x) = 0 xС С – множество точек разрыва т.к. (С) = 0, то F (x) = 0 п.в. на [0, 1] по F(x) не константа (т.е. не более чем счётное число точек и множество лебеговой меры нуль не одно и тоже). д). Если функция f (x) на I имеет обобщённую первообразную,то  [a, b] I .Записанная выше формула и есть формула Ньютона–Лейбница, связывающая интегральное исчисление с дифференциальным и, позволяющая вычислять определенные интегралы с помощью первообразных. В равенстве  положим x = a  C = – (a)  или, что тоже самое  .▲ |
.Похожие:
 | Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин... | | Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления... |
| | Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20... | |
| Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом... | | Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных... |
| Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,... | | Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами... |
| Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих... | | Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме |