§ Основная задача интегрального исчисления
Скачать 225.32 Kb.
|
| §. Дифференцирование определённого интеграла, пределы которого дифференцируемые функции. Вспоминая цепное правило дифференцирования сложной функции, можно написать следующую формулу  . ▲.§. Замена переменных в определённом интеграле. П  усть fR[a, b] и на промежутке x[a, b] рассматривается  . Кроме того, пусть задана функция x = (t) t[, ], причем () = a, () = bи функция  строго монотонна и непрерывно дифференцируема на промежутке  . Тогда справедлива формула, именуемая формулой замены переменной в определенном интеграле . ▲. На иллюстрации сделана попытка пояснить необходимость монотонности функции x = (t). §. Примеры. 1. Найти  .а). Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница дает  , что само по себе удивительно, ибо интеграл от неотрицательной функции оказался отрицательным. б). Давайте более аккуратно подойдем к нахождению первообразной функции. Для этого найдем первообразную отдельно для x больших и для x меньших нуля. Получим для  , и для  . Чтобы найти первообразную на всем промежутке  надо потребовать чтобы найденная первообразная была непрерывна, т.е. чтобы   . Значит первообразная подынтегральной функции на промежутке имеет вид  и теперь применение формулы Ньютона– Лейбница дает правильный результат  .2.  . Формально выполняя замену переменной  получим что  , что очевидно неверно. Для получения правильного результата необходимо учесть, что функция разрывна при  и следовало бы написать , однако на этом пути нас ожидает еще одна неприятность принципиального порядка. Идея определенного интеграла не может быть реализована для бесконечных промежутков интегрирования. Здесь мы вторгаемся в область несобственных интегралов, которые будут рассмотрены несколько позже.Приведенные два примера показывают что, и при применении формулы Ньютона –Лейбница и при замене переменной в определенном интеграле следует быть очень осторожным. §. Формула интегрирования по частям  §. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. И, наконец, получим формулу для остаточного члена ряда Тейлора в интегральной форме. Рассмотрим  , и преобразуем его с помощью формулы интегрирования по частям. =  = =  =  = =  = .Находя, из этого соотношения  получим . Последнее слагаемое это и есть остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме. Применяя к нему первую теорему о среднем, получим остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа, что еще раз подтверждает связь между дифференциальным и интегральным исчислением. . |
Похожие:
 | Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин... | | Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления... |
| | Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20... | |
| Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом... | | Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных... |
| Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,... | | Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами... |
| Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих... | | Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме |