§ Основная задача интегрального исчисления




Скачать 225.32 Kb.
Название§ Основная задача интегрального исчисления
страница4/4
Дата публикации30.06.2013
Размер225.32 Kb.
ТипЗадача
zadocs.ru > Математика > Задача
1   2   3   4
§. Дифференцирование определённого интеграла, пределы которого дифференцируемые функции.

Вспоминая цепное правило дифференцирования сложной функции, можно написать следующую формулу . ▲.
§. Замена переменных в определённом интеграле.

П

усть fR[a, b] и на промежутке x[a, b] рассматривается . Кроме того, пусть задана функция x = (t) t[, ], причем () = a, () = b

и функция строго монотонна и непрерывно дифференцируема на промежутке . Тогда справедлива формула, именуемая формулой замены переменной в определенном интеграле

. ▲.

На иллюстрации сделана попытка пояснить необходимость монотонности функции x = (t).

§. Примеры.

1. Найти .

а). Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница дает

, что само по себе удивительно, ибо интеграл от неотрицательной функции оказался отрицательным.

б). Давайте более аккуратно подойдем к нахождению первообразной функции. Для этого найдем первообразную отдельно для x больших и для x меньших нуля.

Получим для , и для . Чтобы найти первообразную на всем промежутке надо потребовать чтобы найденная первообразная была непрерывна, т.е. чтобы . Значит первообразная подынтегральной функции на промежутке имеет вид и теперь применение формулы Ньютона– Лейбница дает правильный результат .
2. . Формально выполняя замену переменной получим что , что очевидно неверно. Для получения правильного результата необходимо учесть, что функция разрывна при и следовало бы написать

, однако на этом пути нас ожидает еще одна неприятность принципиального порядка. Идея определенного интеграла не может быть реализована для бесконечных промежутков интегрирования. Здесь мы вторгаемся в область несобственных интегралов, которые будут рассмотрены несколько позже.
Приведенные два примера показывают что, и при применении формулы Ньютона –Лейбница и при замене переменной в определенном интеграле следует быть очень осторожным.
§. Формула интегрирования по частям
§. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
И, наконец, получим формулу для остаточного члена ряда Тейлора в интегральной форме. Рассмотрим , и преобразуем его с помощью формулы интегрирования по частям.

= =

= = =

= =

.

Находя, из этого соотношения получим

. Последнее слагаемое это и есть остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме. Применяя к нему первую теорему о среднем, получим остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа, что еще раз подтверждает связь между дифференциальным и интегральным исчислением.

.

1   2   3   4

Похожие:

§ Основная задача интегрального исчисления iconКудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М....
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ (3 тома) Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления (3 тома) Будылин...

§ Основная задача интегрального исчисления iconИсчисления и уплаты
Министерством жилищно-коммунального хозяйства Республики Беларусь (далее оператор). Рассмотрим порядок исчисления и перечисления...

§ Основная задача интегрального исчисления iconДобиваться выполнения поставленных задач основная задача руководителя

§ Основная задача интегрального исчисления icon1. Общая характеристика механизма исчисления государственной трудовой...
Правила исчисления государственной трудовой пенсии, действовавшие до 1998 г. (по Закону РФ «О государственных пенсиях в рф» от 20...

§ Основная задача интегрального исчисления iconПрограмма спецкурса Современная русская литература
Спецкурс адресован студентам старших курсов, его основная задача дополнить программу по изучению русской литературы XX века кругом...

§ Основная задача интегрального исчисления iconУчебное пособие содержание
Деятельность человека и потребность в организации. Фазы фундаментальных изменений в организациях ХХ века. Характеристика различных...

§ Основная задача интегрального исчисления icon1 Строительная климатология (факторы температуры, влажности, ветра, осадки, солнечная радиация)
Основная задача: обоснование целесообразности решений планировки городской застройки, выбор типов зданий и ограждающих конструкций,...

§ Основная задача интегрального исчисления iconМетодические указания по оформлению текстовых документов (Это не...
Основная задача настоящего пособия установление единых требований к порядку оформления текстовых документов, разрабатываемых студентами...

§ Основная задача интегрального исчисления iconРабочая программа дисциплины «литература народов снг»
Основная задача курса «Литература народов снг» состоит в ознакомлении выпускников факультета с развитием литератур народов, входящих...

§ Основная задача интегрального исчисления iconОсновная задача, стоящая перед разработчиком, которому нужно защищать...
Соответственно, пиратская копия должна либо не работать вовсе, либо работать в ограниченном или демонстрационном режиме

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов