Классификация правильных многогранников




Скачать 21.64 Kb.
НазваниеКлассификация правильных многогранников
Дата публикации28.01.2014
Размер21.64 Kb.
ТипДокументы
Классификация правильных многогранников

  1. Пусть дан многогранник (будем считать его выпуклым, пусть он даже вписан в сферу). Объясните, как можно нарисовать на плоскости изоморфный ему граф без пересечений рёбер, так чтобы каждое ребро было отрезком.

  2. Постройте соответствующие плоские изображения куба, призмы, антипризмы, пирамиды, бипирамиды.

  3. На каждой вершине многогранника написали число рёбер, из неё выходящих (степень вершины). Все эти числа сложили. Получили число А. После этого на каждой грани написали количество сторон на ней (степень грани), и сложили числа на гранях. Докажите, что получилось то же число А. Как оно связано с количеством рёбер?

  4. Вспомните теорему Эйлера для многогранников: В+Г=Р+2.

  5. Докажите, что в многограннике существует вершина, степень которой не более пяти.

  6. Докажите, что в многограннике существует грань, степень которой не более пяти.

Замечание. А на самом деле у любого многогранника существует двойственный. Строится он так: в центр каждой грани помещается вершина двойственного многогранника. Вершины двойственного многогранника соединяются ребром, если соответствующие грани исходного многогранника имели общее ребро.

Правильным называется многогранник, у которого степень всех вершин одинакова, а также степень всех стран одинакова.

Пусть степень всех вершин n, а степень всех граней k. Из доказанного следует, что n<6 и k<6. Следовательно, можно просто перебрать конечное число вариантов.

  1. Переберите эти варианты. Определите, какие варианты возможны, какие нет. Сколько в каждом варианте вершин, рёбер, граней?

  2. Пусть из предыдущего задания мы получили многогранник с В вершинами, Р рёбрами и Г гранями. Пока ниоткуда не следует, что такой многогранник ровно один (по крайней мере, с точки зрения теории графов). Нарисуйте полученные многогранники, докажите, что в каждом из случаев соответствующий граф определяется однозначно.

Замечание. Из этого всё равно не следует, что геометрия многогранника тоже определяется однозначно! Но на этот вопрос мы сейчас отвечать не будем.
^ Домашнее задание

(На следующем занятии – контрольная работа по многогранникам, подготовьтесь!)

  1. Многогранник имеет четырёхугольные грани. При этом ровно в половине вершин сходится три грани, а в остальных вершинах – по четыре. Сколько граней в многограннике?

*** Кстати, а что это за многогранник?

  1. В многограннике в каждой вершине сходится три грани. Каждая грань пяти- или шестиугольная. Докажите, что пятиугольных граней ровно 12.

  2. Футбольный мяч представляет собой многогранник. Грани бывают пяти- и шестиугольные. Каждую пятиугольную грань окружают только шестиугольные, а каждую шестиугольную – три пятиугольные и три шестиугольные. В каждой вершине сходятся три грани. Сколько граней у футбольного мяча?

*** Конечно, эту задачу можно решить, сосчитав грани реального футбольного мяча. Всё же от вас требуется математическое рассуждение.

  1. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

  2. В выпуклом многограннике каждая грань представляет собой многоугольник с чётным числом сторон. Докажите, что вершины можно покрасить в два цвета так, чтобы соединённые ребром вершины были разных цветов.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Классификация правильных многогранников iconЗадача о свойствах пирамиды с равными боковыми ребрами
...

Классификация правильных многогранников iconОсновная анкета по соционике
Ответы на вопросы должны быть развернутыми, с примерами, рассуждениями. Краткие ответы менее 4-х строк на каждый вопрос к рассмотрению...

Классификация правильных многогранников icon2. Какие вопросы Вам интереснее всего обсуждать? Над какими интересней...
Ответы на вопросы должны быть развернутыми, с примерами, рассуждениями. Краткие ответы менее 4-х строк на каждый вопрос к рассмотрению...

Классификация правильных многогранников iconТестовые задания (с обоснованием правильных ответов) для студентов...
Тестовые задания (с обоснованием правильных ответов) для студентов фармацевтического факультета

Классификация правильных многогранников iconПеречень вопросов к государственному экзамену по специальности
Общие понятия грузоведения: груз, участники перевозки груза, область задач грузоведения. Классификация грузов (основная транспортная...

Классификация правильных многогранников iconКлассификация. В настоящее время используется классификация недостаточности...
Классификация. В настоящее время используется классификация недостаточности кровообращения, предложенная Н. Д. Стражеско. Согласно...

Классификация правильных многогранников iconЧто подразумевает классификация гостиниц?
Существует ли единая международная классификация гостиниц и унифицированные пиктограммы гостиничного сервиса?

Классификация правильных многогранников iconМорфологическая классификация языков
Базисные понятия морфологической классификация языков морфема и слово. Основные критерии

Классификация правильных многогранников iconКлассификация альпинистских маршрутов
...

Классификация правильных многогранников iconЗадачи химмотологии. Классификация горюче-смазочных материалов. Классификация...
Общая характеристика процессов воспламенения и горения. Характеристика и методы оценки воспламеняемости горючего

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов